Ρευστά σε κίνηση

Εξίσωση συνέχειας και Bernoulli: γιατί τρέχει πιο γρήγορα το στένωμα.

30 λεπτά

Θα μάθεις να

Να εφαρμόζεις την εξίσωση συνέχειας σε σωλήνα μεταβλητής διατομής.
Να χρησιμοποιείς την εξίσωση Bernoulli και να ξέρεις τις προϋποθέσεις της.
Να εξηγείς γιατί η πίεση πέφτει εκεί που η ταχύτητα αυξάνεται.
Να λύνεις προβλήματα εκροής και μέτρησης παροχής.

Το ιδανικό ρευστό

Τα πραγματικά ρευστά είναι περίπλοκα. Το κεφάλαιο δουλεύει με ένα μοντέλο που κρατάει τέσσερις παραδοχές, και οι τέσσερις γράφονται στην αρχή κάθε λύσης:

ασυμπίεστο — η πυκνότητα δεν αλλάζει
μη ιξώδες — δεν υπάρχουν εσωτερικές τριβές
στρωτή ροή — κανένας στρόβιλος
μόνιμη ροή — η ταχύτητα σε κάθε σημείο δεν αλλάζει με τον χρόνο

Εξίσωση συνέχειας

Το ρευστό δεν συσσωρεύεται και δεν εξαφανίζεται. Ό,τι μπαίνει από τη μία άκρη βγαίνει από την άλλη:

A_1 v_1 = A_2 v_2

Το γινόμενο $\Pi = A v$ λέγεται παροχή και μετριέται σε $m^3/s$ . Στενεύει ο σωλήνας, ανεβαίνει η ταχύτητα — γι' αυτό το νερό τρέχει πιο δυνατά όταν πατάς το στόμιο του λάστιχου.

Εξίσωση Bernoulli

Είναι η διατήρηση της ενέργειας, γραμμένη ανά μονάδα όγκου:

P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = c

με το $c$ σταθερό κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής. Οι τρεις όροι είναι πίεση, κινητική ενέργεια ανά όγκο και δυναμική ενέργεια ανά όγκο. Το άθροισμά τους είναι το ίδιο σε κάθε σημείο μιας ρευματικής γραμμής.

Κλειδί

Για οριζόντιο σωλήνα ο τρίτος όρος είναι ίδιος παντού και η εξίσωση γίνεται

P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2

Άρα όπου η ταχύτητα είναι μεγάλη, η πίεση είναι μικρή. Είναι το πιο αντιδιαισθητικό αποτέλεσμα του κεφαλαίου, γιατί το «στένεμα» μοιάζει με «σφίξιμο».

Η σωστή εικόνα: για να επιταχυνθεί το ρευστό μπαίνοντας στο στένωμα, πρέπει να σπρωχτεί — και σπρώχνεται από διαφορά πίεσης, με μεγαλύτερη πίεση πίσω του. Άρα η πίεση μπροστά, μέσα στο στένωμα, είναι υποχρεωτικά μικρότερη.

Στένωμα: πιο γρήγορα, με λιγότερη πίεση

Σύρε τη στένωση και την ταχύτητα εισόδου. Οι δύο κατακόρυφες στήλες είναι μανόμετρα: όσο ανεβαίνει η ταχύτητα στο στένωμα, τόσο πέφτει η στήλη του δεύτερου.

Λόγος διατομών A₂/A₁0,5

Ταχύτητα εισόδου2 m/s

Ταχύτητα στο φαρδύ: 2 m/s
Ταχύτητα στο στενό: 4 m/s
Πτώση πίεσης: 6.000 Pa

Η πυκνότητα του νερού είναι 1000 kg/m³. Η πτώση πίεσης βγαίνει από τη διαφορά των τετραγώνων των ταχυτήτων.

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Σωλήνας διατομής $20$ cm² στενεύει σε $5$ cm². Στο φαρδύ το νερό τρέχει με $2$ m/s. Πόσο τρέχει στο στενό;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Στον ίδιο σωλήνα, πόσο πέφτει η πίεση από το φαρδύ στο στενό; ( $\\rho = 1000$ kg/m³)

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Δοχείο με νερό έχει τρύπα σε βάθος $h = 1{,}8$ m κάτω από την επιφάνεια. Με τι ταχύτητα βγαίνει το νερό;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Γιατί το νερό από μια βρύση λεπταίνει καθώς πέφτει;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

Βασική

Σωλήνας διατομής $20$ cm² στενεύει σε $5$ cm². Στο φαρδύ το νερό τρέχει με $2$ m/s. Πόσο τρέχει στο στενό;

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Η εξίσωση συνέχειας

A_1 v_1 = A_2 v_2

εκφράζει:

ότι η πίεση είναι ίδια παντούότι η ταχύτητα είναι ίδια παντούότι η παροχή είναι ίδια σε κάθε διατομήτη διατήρηση της ενέργειας

Τα κατάφερες;

Να εφαρμόζεις την εξίσωση συνέχειας σε σωλήνα μεταβλητής διατομής.
Να χρησιμοποιείς την εξίσωση Bernoulli και να ξέρεις τις προϋποθέσεις της.
Να εξηγείς γιατί η πίεση πέφτει εκεί που η ταχύτητα αυξάνεται.
Να λύνεις προβλήματα εκροής και μέτρησης παροχής.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.