Απλή αρμονική ταλάντωση

Μία συνθήκη, και όλα τα υπόλοιπα προκύπτουν

Απλή αρμονική ταλάντωση κάνει ένα σώμα όταν η συνισταμένη δύναμη πάνω του είναι ανάλογη της απομάκρυνσης και αντίθετης φοράς:

$$F = -D x$$

Αυτή η μία γραμμή είναι όλος ο ορισμός. Το μείον σημαίνει ότι η δύναμη δείχνει πάντα προς τη θέση ισορροπίας — γι' αυτό λέγεται δύναμη επαναφοράς — και το $D$ λέγεται σταθερά επαναφοράς, σε $N/m$.

Από τον δεύτερο νόμο, $ma = -Dx$, δηλαδή

$$a = -\frac{D}{m}x = -\omega^2 x, \qquad \omega = \sqrt{\frac{D}{m}}$$

Οι τρεις εξισώσεις

Αν μετρήσουμε τον χρόνο από τη θέση ισορροπίας:

$$x = A\,\eta\mu(\omega t), \qquad v = \omega A\,\sigma\upsilon\nu(\omega t), \qquad a = -\omega^2 A\,\eta\mu(\omega t)$$

Η τελευταία γράφεται και $a = -\omega^2 x$, που είναι η πιο χρήσιμη μορφή: δεν χρειάζεται χρόνο.

Μία ταλάντωση, τρία μεγέθη

Σύρε τον χρόνο και κοίτα τους τρεις αριθμούς μαζί. Στα άκρα η ταχύτητα μηδενίζεται και η επιτάχυνση κορυφώνεται· στη θέση ισορροπίας γίνεται το αντίστροφο. Οι δύο δεν είναι ποτέ μέγιστες ταυτόχρονα.

Πλάτος A0,2 m

Περίοδος T2 s

Χρόνος t0 s

Απομάκρυνση x

0,2 m

Ταχύτητα v

0 m/s

Επιτάχυνση a

−1,974 m/s²

Η επιτάχυνση έχει πάντα αντίθετο πρόσημο από την απομάκρυνση — αυτό είναι το μείον του a = −ω²x.

Η ενέργεια

Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης και η κινητική ανταλλάσσονται συνέχεια, αλλά το άθροισμά τους μένει σταθερό:

$$U = \tfrac{1}{2}Dx^2, \qquad K = \tfrac{1}{2}mv^2, \qquad E = U + K = \tfrac{1}{2}DA^2$$

Η τελευταία ισότητα προκύπτει από το άκρο, όπου $v = 0$ και $x = A$: εκεί όλη η ενέργεια είναι δυναμική.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση