Διατήρηση της στροφορμής

Γιατί επιταχύνει η παγοδρόμος όταν μαζεύει τα χέρια.

28 λεπτά

Θα μάθεις να

Να υπολογίζεις τη στροφορμή στερεού σώματος και υλικού σημείου.
Να αναγνωρίζεις πότε διατηρείται η στροφορμή και πότε όχι.
Να λύνεις προβλήματα όπου μεταβάλλεται η ροπή αδράνειας ενός περιστρεφόμενου συστήματος.
Να εξηγείς γιατί η κινητική ενέργεια δεν διατηρείται μαζί με τη στροφορμή.

Το ανάλογο της ορμής

Όπως η ορμή $p = mv$ μετράει «πόση κίνηση» έχει ένα σώμα, η στροφορμή μετράει πόση περιστροφή:

L = I\omega

Μετριέται σε $kg \cdot m^2/s$ και είναι διανυσματικό μέγεθος, με κατεύθυνση κατά μήκος του άξονα περιστροφής.

Ο νόμος που τη διέπει είναι πάλι ο δεύτερος του Νεύτωνα, στη μορφή που συνδέει ροπή και μεταβολή:

\Sigma\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t}

Η διατήρηση

Από τον παραπάνω νόμο προκύπτει αμέσως το πιο χρήσιμο εργαλείο του κεφαλαίου:

Αν η συνολική εξωτερική ροπή είναι μηδέν, η στροφορμή διατηρείται.

I_1\omega_1 = I_2\omega_2

Η παγοδρόμος

Μάζευε τα χέρια. Η στροφορμή δεν κουνιέται — είναι δεδομένη. Η ροπή αδράνειας πέφτει με το τετράγωνο της απόστασης, οπότε η γωνιακή ταχύτητα εκτοξεύεται. Πρόσεξε και την ενέργεια.

Άνοιγμα χεριών0,8 m

Ροπή αδράνειας: 5,04 kg·m²
Γωνιακή ταχύτητα: 2,38 rad/s
Στροφορμή: 12 kg·m²/s
Κινητική ενέργεια: 14,3 J

Η στροφορμή μένει σταθερή από κατασκευή — αυτός είναι ο νόμος. Η ενέργεια όχι: αυξάνεται, και τη δίνουν οι μύες.

Πρόσεχε

Η κινητική ενέργεια δεν διατηρείται όταν αλλάζει το $I$ . Από την $K = \tfrac{1}{2}I\omega^2$ και την $L = I\omega$ προκύπτει

K = \frac{L^2}{2I}

Με σταθερό $L$ , μικρότερο $I$ σημαίνει μεγαλύτερη ενέργεια. Η παγοδρόμος που μαζεύει τα χέρια κερδίζει κινητική ενέργεια, και την πληρώνει: τα χέρια της κινούνται προς το κέντρο ενάντια στη φυγόκεντρη τάση, και το έργο αυτό το κάνουν οι μύες της.

Η συχνότερη λάθος απάντηση στο κεφάλαιο είναι «διατηρείται και η ενέργεια». Δεν διατηρείται, και η ερώτηση «από πού ήρθε» έχει συγκεκριμένη απάντηση.

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Δίσκος με $I = 0{,}4$ kg·m² περιστρέφεται με $\\omega = 10$ rad/s. Βρες τη στροφορμή του.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Παγοδρόμος περιστρέφεται με $\\omega_1 = 2$ rad/s και $I_1 = 6$ kg·m². Μαζεύει τα χέρια και το $I$ πέφτει στα $2$ kg·m². Βρες τη νέα γωνιακή ταχύτητα.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Στο ίδιο παράδειγμα, τι έγινε με την κινητική ενέργεια;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Δίσκος με $I_1 = 3$ kg·m² περιστρέφεται με $4$ rad/s. Πέφτει πάνω του και κολλάει δεύτερος ακίνητος δίσκος με $I_2 = 1$ kg·m². Βρες την κοινή ταχύτητα.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

Βασική

Δίσκος με $I = 0{,}4$ kg·m² περιστρέφεται με $\omega = 10$ rad/s. Βρες τη στροφορμή του.

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Η στροφορμή στερεού σώματος δίνεται από:

L = m v r

πάντα

L = I\alpha

L = \tfrac{1}{2}I\omega^2

L = I\omega

Τα κατάφερες;

Να υπολογίζεις τη στροφορμή στερεού σώματος και υλικού σημείου.
Να αναγνωρίζεις πότε διατηρείται η στροφορμή και πότε όχι.
Να λύνεις προβλήματα όπου μεταβάλλεται η ροπή αδράνειας ενός περιστρεφόμενου συστήματος.
Να εξηγείς γιατί η κινητική ενέργεια δεν διατηρείται μαζί με τη στροφορμή.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.