Το εμβαδόν του κύκλου

Από τη γραμμή στην επιφάνεια

Στην Ε΄ μέτρησες τον γύρο του κύκλου, στο μάθημα Ο κύκλος: ακτίνα, διάμετρος και μήκος. Είδες ότι η διάμετρος χωράει στο μήκος του κύκλου πάντα $\pi \approx 3{,}14$ φορές:

Μήκος κύκλου $= \pi \times \delta = 2 \times \pi \times \rho$

Τώρα η ερώτηση αλλάζει. Δεν ρωτάμε πόσο μακριά είναι η γραμμή, αλλά πόση επιφάνεια κλείνει μέσα της: πόσο χαρτόνι χρειάζεται ένας κυκλικός δίσκος, πόσο χορτάρι χωράει ένα στρογγυλό παρτέρι. Αυτό είναι το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου, ή πιο σύντομα «εμβαδόν του κύκλου».

Κόψε τον δίσκο σε φέτες

Κανένας τύπος από τα πολύγωνα δεν ταιριάζει στον κύκλο, γιατί δεν έχει ούτε βάση ούτε ύψος. Θα τον μετατρέψουμε λοιπόν σε σχήμα που έχει.

1. Κόψε τον δίσκο σε πολλές ίσες φέτες, όπως μια πίτσα.
2. Βάλε τις φέτες τη μία δίπλα στην άλλη: μία με τη μύτη πάνω, την επόμενη με τη μύτη κάτω.
3. Το σχήμα που βγαίνει μοιάζει με παραλληλόγραμμο. Με $8$ φέτες η βάση του είναι ακόμα κυματιστή. Με $16$ ή $32$ φέτες γίνεται σχεδόν ίσια, και το σχήμα σχεδόν ορθογώνιο.

Τι μήκος έχουν οι πλευρές του;

• Ύψος: κάθε φέτα έχει μήκος όσο η ακτίνα. Άρα το ύψος είναι $\rho$.
• Βάση: οι μισές φέτες έχουν τη «φλούδα» τους κάτω και οι μισές πάνω. Η κάτω πλευρά είναι λοιπόν το μισό μήκος του κύκλου: $\pi \times \rho$.

Βάση επί ύψος: $(\pi \times \rho) \times \rho$. Δεν χάθηκε ούτε προστέθηκε τίποτα, απλώς μετακινήσαμε τις φέτες.

Άλλαξε την ακτίνα και κοίτα το εμβαδόν. Σύγκρινέ το με το μήκος: το μήκος μεγαλώνει με σταθερό βήμα, το εμβαδόν όλο και πιο γρήγορα.

Μήκος και εμβαδόν, δίπλα δίπλα

Άλλαξε την ακτίνα με τη μπάρα. Οι αριθμοί βγαίνουν με π = 3,14, όπως και στις δικές σου πράξεις. Δοκίμασε ακτίνα 1, μετά 2, μετά 4: τι παθαίνει το εμβαδόν κάθε φορά που διπλασιάζεις την ακτίνα;

Διάμετρος2

Μήκος κύκλου6,28

Εμβαδόν κύκλου3,14

6,28 : 2 = 3,14διάμετροι στο μήκος του κύκλου · το μήκος μετράει γραμμή, το εμβαδόν επιφάνεια

Ακτίνα1

Ένας έλεγχος χωρίς τύπο

Ζωγράφισε ένα τετράγωνο γύρω από τον κύκλο, ώστε να τον αγγίζει στις τέσσερις πλευρές. Η πλευρά του είναι η διάμετρος, δηλαδή δύο ακτίνες. Το τετράγωνο αυτό έχει εμβαδόν $2\rho \times 2\rho$, δηλαδή τέσσερα τετραγωνάκια με πλευρά την ακτίνα.

Ο κύκλος χωράει μέσα του και αφήνει έξω τις τέσσερις γωνίες. Άρα το εμβαδόν του είναι λίγο πάνω από τρία τέτοια τετραγωνάκια: $3{,}14 \times \rho \times \rho$. Αν σου βγει πάνω από $4 \times \rho \times \rho$, κάπου έκανες λάθος.

Μήκος ή εμβαδόν;

Το πρόβλημα σπάνια λέει «βρες το εμβαδόν». Λέει τι θέλει να κάνει κάποιος, κι εσύ αποφασίζεις αν μετράει γραμμή γύρω γύρω ή επιφάνεια μέσα.

Γύρος ή επιφάνεια;

Κάθε φορά εμφανίζεται μια δουλειά με κάτι κυκλικό. Χρειάζεται το μήκος του κύκλου ή το εμβαδόν του;

Μήκος ή εμβαδόν;

Φράχτης γύρω από ένα κυκλικό παρτέρι

Μήκος κύκλουΕμβαδόν κύκλου

0 / 8

Μισοί κύκλοι και δακτύλιοι

Δύο σχήματα βγαίνουν από τον κύκλο με μία ακόμα πράξη:

• Μισός κύκλος: το μισό εμβαδόν του ολόκληρου κύκλου.
• Κυκλικός δακτύλιος (σαν ντόνατ ή σαν CD): το εμβαδόν του μεγάλου κύκλου μείον το εμβαδόν της τρύπας.

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση