Μετάβαση στο περιεχόμενο
Akademio

Ομοιότητα

Ίδιο σχήμα, άλλο μέγεθος — και τι γίνεται με τα εμβαδά.

26 λεπτά

Θα μάθεις να

  1. Να ξεχωρίζεις την ομοιότητα από την ισότητα σχημάτων.
  2. Να εφαρμόζεις τα τρία κριτήρια ομοιότητας τριγώνων.
  3. Να υπολογίζεις άγνωστες πλευρές με τον λόγο ομοιότητας.
  4. Να εξηγείς γιατί τα εμβαδά μεγαλώνουν με το τετράγωνο και οι όγκοι με τον κύβο του λόγου.

Ίδιο σχήμα, άλλο μέγεθος

Δύο σχήματα είναι όμοια όταν το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου. Επίσημα, για τρίγωνα:

  • οι γωνίες τους είναι ίσες μία προς μία,
  • οι αντίστοιχες πλευρές είναι ανάλογες.

Ο κοινός λόγος λ\lambda των πλευρών λέγεται λόγος ομοιότητας. Όταν λ=1\lambda = 1 τα τρίγωνα δεν είναι απλώς όμοια — είναι ίσα.

Η ισότητα είναι λοιπόν η ειδική περίπτωση της ομοιότητας όπου δεν άλλαξε τίποτα στο μέγεθος.

Ένας αριθμός αλλάζει τα πάντα

Σύρε τον λόγο ομοιότητας. Οι γωνίες δεν κουνιούνται καθόλου — αυτό είναι που σημαίνει «ίδιο σχήμα». Πρόσεξε όμως τι κάνει το εμβαδόν.

Πρώτο τρίγωνο3 · 4 · 5

Δεύτερο τρίγωνο4,5 · 6 · 7,5

Όμοια τρίγωναΠλευρές: 1,5 · Γωνίες

Εμβαδόν: 6 → 13,5 · Οι πλευρές πολλαπλασιάζονται με λ, το εμβαδόν με λ².

Τα τρία κριτήρια

Δεν χρειάζεται να ελέγξεις και τις τρεις γωνίες και τις τρεις πλευρές. Αρκεί ένα από τα παρακάτω:

Γωνία–Γωνία. Δύο γωνίες του ενός ίσες με δύο του άλλου. Η τρίτη έρχεται δωρεάν, αφού το άθροισμα είναι πάντα 180°180°.

Πλευρά–Πλευρά–Πλευρά. Και οι τρεις λόγοι αντίστοιχων πλευρών ίσοι.

Πλευρά–Γωνία–Πλευρά. Δύο ζεύγη πλευρών ανάλογα, και οι περιεχόμενες γωνίες ίσες.

Στην πράξη το Γωνία–Γωνία είναι αυτό που χρησιμοποιείς σχεδόν πάντα, γιατί ίσες γωνίες προκύπτουν εύκολα: από παραλληλία, από κοινή γωνία, από κατακορυφήν.

Ό,τι είναι μήκος, πολλαπλασιάζεται με λ

Κάθε μήκος του σχήματος ακολουθεί τον ίδιο λόγο λ\lambda: όχι μόνο οι πλευρές, αλλά και τα ύψη, οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι, η περίμετρος, οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων.

κάθε μήκος του δεύτερου ÷ το αντίστοιχο του πρώτου = λ

Τα εμβαδά όμως όχι.

Αυτό εξηγεί γιατί ένα μυρμήγκι στο μέγεθος ανθρώπου δεν θα μπορούσε να σταθεί όρθιο: το βάρος του θα μεγάλωνε με τον κύβο της κλίμακας, ενώ η αντοχή των ποδιών του, που εξαρτάται από τη διατομή, μόνο με το τετράγωνο.

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Δύο τρίγωνα έχουν γωνίες 50°,60°50°, 60° και 60°,70°60°, 70° αντίστοιχα. Είναι όμοια;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Δύο όμοια τρίγωνα έχουν λόγο ομοιότητας λ=3\lambda = 3. Το μικρό έχει εμβαδόν 88 cm². Πόσο το μεγάλο;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, το ύψος προς την υποτείνουσα το χωρίζει σε δύο τρίγωνα. Γιατί είναι όμοια με το αρχικό;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Χάρτης σε κλίμακα 1:25.000. Μια λίμνη καταλαμβάνει 4 cm² στον χάρτη. Πόσα τετραγωνικά χιλιόμετρα;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

ΒασικήΆσκηση 1 από 4

Δύο τρίγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας 44. Μια πλευρά του μικρού είναι 33 cm. Πόσο είναι η αντίστοιχη πλευρά του μεγάλου;

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Ερώτηση 1 από 8

Δύο όμοια τρίγωνα έχουν λόγο ομοιότητας 33. Αν το μικρό έχει εμβαδόν 88 cm², πόσο έχει το μεγάλο;

Τα κατάφερες;

  • Να ξεχωρίζεις την ομοιότητα από την ισότητα σχημάτων.
  • Να εφαρμόζεις τα τρία κριτήρια ομοιότητας τριγώνων.
  • Να υπολογίζεις άγνωστες πλευρές με τον λόγο ομοιότητας.
  • Να εξηγείς γιατί τα εμβαδά μεγαλώνουν με το τετράγωνο και οι όγκοι με τον κύβο του λόγου.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.