Αναλογίες και θεώρημα Θαλή

Παράλληλες που κόβουν πλευρές σε ίδιο λόγο.

25 λεπτά

Θα μάθεις να

Να διατυπώνεις το θεώρημα του Θαλή και να το εφαρμόζεις σε τρίγωνο με παράλληλη πλευρά.
Να στήνεις τη σωστή αναλογία, βάζοντας αντίστοιχα τμήματα στις αντίστοιχες θέσεις.
Να χρησιμοποιείς το αντίστροφο του θεωρήματος για να αποδείξεις ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες.
Να υπολογίζεις άγνωστο μήκος σε πρακτικό πρόβλημα με όμοια σχήματα.

Παράλληλες που κόβουν αναλογικά

Το θεώρημα του Θαλή λέει κάτι που δεν είναι καθόλου προφανές: όταν παράλληλες ευθείες κόβουν δύο άλλες ευθείες, τα μήκη που κόβουν είναι διαφορετικά, αλλά οι λόγοι τους είναι ίδιοι.

Στη σχολική του μορφή, μέσα σε τρίγωνο: αν $\Delta E \parallel B\Gamma$ με το $\Delta$ στην $AB$ και το $E$ στην $A\Gamma$ , τότε

\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma}

Τα τέσσερα τμήματα έχουν τέσσερα διαφορετικά μήκη. Τα δύο κλάσματα βγάζουν τον ίδιο αριθμό.

Θεώρημα Θαλή σε τρίγωνο

Το τρίγωνο είναι σκαληνό επίτηδες: οι δύο πλευρές δεν έχουν ίδιο μήκος. Σύρε την παράλληλη και παρακολούθησε τα τέσσερα μήκη να αλλάζουν — και τους δύο λόγους να μένουν ίσοι.

Θέση της παράλληλης0,4

ΑΔ : ΔΒ0,667

ΑΕ : ΕΓ0,667

Οι δύο λόγοι είναι ίσοι

Όποια κι αν είναι η θέση, και παρότι τα τέσσερα μήκη διαφέρουν.

Τα μήκηΑΔ 106,04 · ΔΒ 159,06 · ΑΕ 87,21 · ΕΓ 130,82

Οι τρεις μορφές της αναλογίας

Η ίδια σχέση γράφεται με τρεις ισοδύναμους τρόπους, και η άσκηση συνήθως σε σπρώχνει προς έναν από αυτούς:

\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma}, \qquad \frac{A\Delta}{AB} = \frac{AE}{A\Gamma}, \qquad \frac{A\Delta}{AB} = \frac{\Delta E}{B\Gamma}

Η πρώτη συγκρίνει κομμάτι με κομμάτι, η δεύτερη κομμάτι με ολόκληρη πλευρά, η τρίτη φέρνει μέσα και την παράλληλη.

Γιατί ισχύει

Η σύντομη εξήγηση περνάει από τα εμβαδά. Τα τρίγωνα $\Delta B E$ και $\Delta E \Gamma$ έχουν κοινή βάση τη $\Delta E$ και ίσα ύψη ως προς αυτήν, γιατί οι κορυφές $B$ και $\Gamma$ βρίσκονται πάνω σε ευθεία παράλληλη προς τη $\Delta E$ .

Ίσα εμβαδά, κοινή βάση: η αναλογία των υπόλοιπων τμημάτων προκύπτει αμέσως.

Η ουσία είναι ότι η παραλληλία εγγυάται ίσα ύψη. Χωρίς αυτήν, τίποτα δεν στέκει — γι' αυτό το θεώρημα δεν λέει «μια οποιαδήποτε ευθεία».

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ με $\Delta E \parallel B\Gamma$ : $A\Delta = 4$ , $\Delta B = 6$ , $AE = 5$ . Βρες το $E\Gamma$ .

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Είναι η $\Delta E$ παράλληλη στη $B\Gamma$ , αν $A\Delta = 3$ , $\Delta B = 4{,}5$ , $AE = 4$ , $E\Gamma = 6$ ;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Ένα δέντρο ρίχνει σκιά 12 m. Ένας πάσσαλος 1,5 m ρίχνει σκιά 2 m. Πόσο ψηλό είναι το δέντρο;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Σε τρίγωνο με $B\Gamma = 15$ και $\Delta E \parallel B\Gamma$ : αν $A\Delta = 2$ και $\Delta B = 3$ , πόσο είναι το $\Delta E$ ;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

Βασική

Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ με $\Delta E \parallel B\Gamma$ : $A\Delta = 3$ , $\Delta B = 6$ , $AE = 4$ . Πόσο είναι το $E\Gamma$ ;

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Σε τρίγωνο

AB\Gamma

με

\Delta E \parallel B\Gamma

A\Delta = 4

\Delta B = 6

AE = 5

. Πόσο είναι το

E\Gamma

;

7{,}5

3{,}33

6

11

Τα κατάφερες;

Να διατυπώνεις το θεώρημα του Θαλή και να το εφαρμόζεις σε τρίγωνο με παράλληλη πλευρά.
Να στήνεις τη σωστή αναλογία, βάζοντας αντίστοιχα τμήματα στις αντίστοιχες θέσεις.
Να χρησιμοποιείς το αντίστροφο του θεωρήματος για να αποδείξεις ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες.
Να υπολογίζεις άγνωστο μήκος σε πρακτικό πρόβλημα με όμοια σχήματα.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.