Μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα

Το Πυθαγόρειο με διόρθωση

Το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει μόνο σε ορθογώνιο τρίγωνο. Η ερώτηση που γεννάει όλο το κεφάλαιο είναι: και στα υπόλοιπα;

Η απάντηση είναι ότι η σχέση $\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2$ δεν καταρρέει — διορθώνεται:

$$\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 - 2\beta\gamma\,\sigma\upsilon\nu A$$

Ο τελευταίος όρος είναι η διόρθωση, και το πρόσημό της κρίνεται εξ ολοκλήρου από τη γωνία $A$:

• $A$ οξεία → $\sigma\upsilon\nu A > 0$ → η διόρθωση αφαιρεί → $\alpha^2 < \beta^2 + \gamma^2$
• $A = 90°$ → $\sigma\upsilon\nu A = 0$ → καμία διόρθωση → Πυθαγόρειο
• $A$ αμβλεία → $\sigma\upsilon\nu A < 0$ → η διόρθωση προσθέτει → $\alpha^2 > \beta^2 + \gamma^2$

Ο νόμος των συνημιτόνων

Οι δύο πλευρές που περιέχουν τη γωνία μένουν σταθερές. Σύρε τη γωνία και παρακολούθησε το α² να περνάει κάτω και πάνω από το β² + γ². Στις 90° τα δύο συμπίπτουν — εκεί ακριβώς είναι το Πυθαγόρειο.

Γωνία Α60°

Απέναντι πλευρά α7,21

α² / β²+γ²52 / 100

Η διόρθωση−48

Οξεία γωνία Α

Η διόρθωση αφαιρεί: το α² μένει κάτω από το β² + γ².

Ο νόμος των ημιτόνων

Ο δεύτερος τύπος του κεφαλαίου συνδέει κάθε πλευρά με την απέναντι γωνία της:

$$\frac{\alpha}{\eta\mu A} = \frac{\beta}{\eta\mu B} = \frac{\gamma}{\eta\mu \Gamma} = 2R$$

όπου $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Το ότι όλοι οι λόγοι βγάζουν τον ίδιο αριθμό, και μάλιστα έναν αριθμό με γεωμετρική σημασία, είναι το εντυπωσιακό εδώ.

Το θεώρημα της διαμέσου

Μια σχέση που προκύπτει κατευθείαν από τον νόμο των συνημιτόνων, εφαρμοσμένο δύο φορές:

$$\mu_{\alpha}^2 = \frac{\beta^2 + \gamma^2}{2} - \frac{\alpha^2}{4}$$

Χρήσιμη κάθε φορά που εμφανίζεται μέσο πλευράς. Η απόδειξη είναι το να γράψεις τον νόμο για τα δύο μικρά τρίγωνα που φτιάχνει η διάμεσος και να προσθέσεις: οι δύο διορθώσεις είναι αντίθετες, γιατί οι δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση