Μετάβαση στο περιεχόμενο
Akademio

Εμβαδά και μέτρηση κύκλου

Κανονικά πολύγωνα, τόξα, κυκλικοί τομείς.

27 λεπτά

Θα μάθεις να

  1. Να υπολογίζεις εμβαδά τριγώνου με τρεις διαφορετικούς τύπους και να διαλέγεις τον κατάλληλο.
  2. Να εξηγείς από πού προκύπτει το π και γιατί είναι το ίδιο για κάθε κύκλο.
  3. Να υπολογίζεις μήκος τόξου και εμβαδόν κυκλικού τομέα.
  4. Να συνδέεις το κανονικό πολύγωνο με τον κύκλο καθώς οι πλευρές πληθαίνουν.

Τρεις τύποι για το ίδιο εμβαδόν

Το εμβαδόν τριγώνου δεν έχει έναν τύπο αλλά τρεις, και το ζητούμενο είναι να διαλέγεις ανάλογα με τι σου δίνουν.

Βάση επί ύψος. Ο γνωστός από το Γυμνάσιο:

E=α⋅υα2E = \frac{\alpha \cdot \upsilon_{\alpha}}{2}

Δύο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία. Ο πιο χρήσιμος στη Β΄ Λυκείου, γιατί το ύψος σπάνια δίνεται:

E=12βγ ημAE = \frac{1}{2}\beta\gamma\,\eta\mu A

Τρεις πλευρές — ο τύπος του Ήρωνα, με τ\tau την ημιπερίμετρο:

E=τ(τ−α)(τ−β)(τ−γ),τ=α+β+γ2E = \sqrt{\tau(\tau - \alpha)(\tau - \beta)(\tau - \gamma)}, \qquad \tau = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{2}

Από πού βγαίνει το π

Το π\pi δεν είναι αριθμός που κάποιος διάλεξε. Είναι ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο — και η έκπληξη είναι ότι αυτός ο λόγος βγαίνει ο ίδιος για κάθε κύκλο, μικρό ή τεράστιο.

L2R=π  ⟹  L=2πR\frac{L}{2R} = \pi \implies L = 2\pi R

Η περιφέρεια ξετυλιγμένη

Άλλαξε την ακτίνα. Η μπάρα από κάτω είναι η περιφέρεια ξετυλιγμένη σε ευθεία, μετρημένη σε διαμέτρους. Όσο κι αν αλλάξεις τον κύκλο, χωράνε πάντα οι ίδιες περίπου 3,14.

Διάμετρος6

Περιφέρεια18,85

Εμβαδόν28,27

18,85 : 6 = 3,14Διάμετροι πάνω στην περιφέρεια · Ο λόγος περιφέρειας προς διάμετρο δεν εξαρτάται από το μέγεθος του κύκλου. Αυτός ο σταθερός λόγος είναι το π.

Τόξα και τομείς

Ένα τόξο είναι κομμάτι της περιφέρειας και ένας τομέας κομμάτι του δίσκου. Και τα δύο υπολογίζονται με απλή αναλογία: πόσο μέρος του κύκλου καταλαμβάνει η επίκεντρη γωνία.

Με τη γωνία μ\mu σε μοίρες:

ℓ=2πR⋅μ360,E=πR2⋅μ360\ell = 2\pi R \cdot \frac{\mu}{360}, \qquad E = \pi R^2 \cdot \frac{\mu}{360}

Σε ακτίνια οι τύποι γίνονται πιο καθαροί, και εδώ φαίνεται γιατί αξίζουν τα ακτίνια:

ℓ=Rθ,E=12R2θ\ell = R\theta, \qquad E = \frac{1}{2}R^2\theta

Κανονικά πολύγωνα και το όριο

Ένα κανονικό πολύγωνο ν\nu πλευρών εγγράφεται σε κύκλο ακτίνας RR. Το εμβαδόν του είναι

E=12νR2ημ360°νE = \frac{1}{2} \nu R^2 \eta\mu\frac{360°}{\nu}

γιατί χωρίζεται σε ν\nu ίσα τρίγωνα με δύο πλευρές RR και περιεχόμενη γωνία 360°ν\frac{360°}{\nu} — ο δεύτερος τύπος εμβαδού, ν\nu φορές.

Καθώς το ν\nu μεγαλώνει, το πολύγωνο γίνεται όλο και πιο δυσδιάκριτο από τον κύκλο, και το εμβαδόν του πλησιάζει το πR2\pi R^2:

ν\nuΕμβαδόν (για R=1R = 1)
662,5982{,}598
12123,0003{,}000
50503,1333{,}133
3603603,14153{,}1415
κύκλος3,14159…3{,}14159\ldots

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Τρίγωνο με β=6\beta = 6, γ=10\gamma = 10 και περιεχόμενη γωνία 30°30°. Βρες το εμβαδόν.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Κυκλικός τομέας με ακτίνα 66 cm και επίκεντρη γωνία 120°120°. Βρες μήκος τόξου και εμβαδόν.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Τρίγωνο με πλευρές 55, 66, 77. Βρες το εμβαδόν.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Κανονικό εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 44. Πόσο εμβαδόν χάνει σε σχέση με τον κύκλο;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

ΒασικήΆσκηση 1 από 4

Πόσο είναι το εμβαδόν κύκλου ακτίνας 55 cm; (Πάρε π=3,14\pi = 3{,}14.)

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Ερώτηση 1 από 8

Τρίγωνο με β=6\beta = 6, γ=10\gamma = 10 και περιεχόμενη γωνία 30°30°. Πόσο είναι το εμβαδόν;

Τα κατάφερες;

  • Να υπολογίζεις εμβαδά τριγώνου με τρεις διαφορετικούς τύπους και να διαλέγεις τον κατάλληλο.
  • Να εξηγείς από πού προκύπτει το π και γιατί είναι το ίδιο για κάθε κύκλο.
  • Να υπολογίζεις μήκος τόξου και εμβαδόν κυκλικού τομέα.
  • Να συνδέεις το κανονικό πολύγωνο με τον κύκλο καθώς οι πλευρές πληθαίνουν.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.

Παιχνίδια

Ανοίγει σε δική του σελίδα — εκεί ζει η επανάληψη.