Διανύσματα

Όταν ο αριθμός δεν αρκεί

Η θερμοκρασία είναι $25$ βαθμοί. Η μάζα είναι $70$ κιλά. Αυτά είναι μονόμετρα μεγέθη: ένας αριθμός τα περιγράφει πλήρως.

Η ταχύτητα δεν είναι. «$60$ km/h» δεν λέει αν πηγαίνεις βόρεια ή νότια, και η διαφορά είναι ολόκληρη. Τα μεγέθη που χρειάζονται και κατεύθυνση λέγονται διανυσματικά, και παριστάνονται με βέλος: το μήκος του δίνει το μέτρο, η φορά του την κατεύθυνση.

Ένα διάνυσμα στο επίπεδο γράφεται με τις συντεταγμένες του:

$$\vec{u} = (u_1, u_2)$$

Το μέτρο του βγαίνει από το Πυθαγόρειο:

$$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$$

Πρόσθεση: δύο εικόνες, ένας κανόνας

Γεωμετρικά, μεταφέρεις το δεύτερο διάνυσμα ώστε η αρχή του να πέσει στο πέρας του πρώτου. Το άθροισμα είναι το βέλος από την αρχή του πρώτου ως το πέρας του δεύτερου — ο κανόνας του πολυγώνου.

Ισοδύναμα, τα φέρνεις να ξεκινούν από το ίδιο σημείο και σχηματίζεις το παραλληλόγραμμο: το άθροισμα είναι η διαγώνιός του.

Με συντεταγμένες, όλα αυτά καταρρέουν σε κάτι πολύ πιο βαρετό — και πολύ πιο χρήσιμο:

$$\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, \ u_2 + v_2)$$

Προσθέτεις κατά συνιστώσα. Το ίδιο και για τον πολλαπλασιασμό με αριθμό: $\lambda\vec{u} = (\lambda u_1, \lambda u_2)$, που τεντώνει ή συρρικνώνει το βέλος και το αντιστρέφει αν $\lambda < 0$.

Εσωτερικό γινόμενο

Δύο διανύσματα δεν πολλαπλασιάζονται όπως δύο αριθμοί. Ο ένας τρόπος που έχει νόημα δίνει αριθμό, όχι διάνυσμα:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$$

Και η βαθύτερη ταυτότητά του:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \, |\vec{v}| \, \sigma\upsilon\nu\theta$$

όπου $\theta$ η γωνία των δύο. Ο ίδιος αριθμός, δύο εντελώς διαφορετικοί υπολογισμοί — και αυτό είναι που τον κάνει χρήσιμο: υπολογίζεις τον έναν τρόπο και διαβάζεις τον άλλον.

Το εσωτερικό γινόμενο και η γωνία

Το u μένει σταθερό. Σύρε τις συντεταγμένες του v και παρακολούθησε το γινόμενο: γίνεται μηδέν ακριβώς όταν τα βέλη σχηματίζουν ορθή γωνία. Η διακεκομμένη διαγώνιος είναι το άθροισμα.

Συντεταγμένη x του v1

Συντεταγμένη y του v3

Εσωτερικό γινόμενο7

Γωνία57,53°

Άθροισμα u + v(5, 4)

Ούτε κάθετα ούτε παράλληλα

Το πρόσημο του γινομένου λέει αν η γωνία είναι οξεία ή αμβλεία.

Για παραλληλία το κριτήριο είναι άλλο. Τα $\vec{u}, \vec{v}$ είναι παράλληλα όταν η ορίζουσά τους μηδενίζεται:

$$\det(\vec{u}, \vec{v}) = u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0$$

Δηλαδή όταν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου — και εδώ ξαναβρίσκεις την ορίζουσα από τα συστήματα, με νέο νόημα.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση