Η ευθεία στο επίπεδο

Η κλίση είναι εφαπτομένη

Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας δεν είναι απλώς «πόσο ανεβαίνει». Είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα $Ox$:

$$\lambda = \varepsilon\varphi\,\omega$$

Από αυτό βγαίνουν αμέσως τρία πράγματα που αλλιώς θα ήταν κανόνες προς απομνημόνευση:

• $\lambda > 0$ σημαίνει οξεία γωνία — η ευθεία ανεβαίνει.
• $\lambda < 0$ σημαίνει αμβλεία γωνία — κατεβαίνει.
• Κατακόρυφη ευθεία δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης, γιατί η $\varepsilon\varphi\, 90°$ δεν ορίζεται.

Από δύο σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ με $x_1 \neq x_2$:

$$\lambda = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Κλίση και τεταγμένη

Το λ στρέφει την ευθεία γύρω από το σημείο τομής της με τον κατακόρυφο άξονα· το β την ανεβοκατεβάζει ολόκληρη. Η δεύτερη, διακεκομμένη ευθεία έχει κλίση −1/λ και μένει πάντα κάθετη.

λ1,5

β1

Ζωντανή ενημέρωση

Κλίση λ

1,5

Κλίση της κάθετης

−0,667

Γινόμενο κλίσεων

−1

• y = λx + β
• η κάθετη

Δοκίμασε

ΑνεβαίνειΚατεβαίνειΚλίση 1

Οι μορφές της εξίσωσης

Γνωστό σημείο και κλίση. Η πιο χρήσιμη, γιατί αυτά είναι τα δεδομένα στις περισσότερες ασκήσεις:

$$y - y_0 = \lambda(x - x_0)$$

Τεταγμένη αρχής. Λύνοντας ως προς $y$:

$$y = \lambda x + \beta$$

Γενική μορφή. Καλύπτει και τις κατακόρυφες, που οι άλλες δύο δεν μπορούν:

$$Ax + By + \Gamma = 0$$

Παράλληλες και κάθετες

$$\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2 \iff \lambda_1 = \lambda_2$$ $$\varepsilon_1 \perp \varepsilon_2 \iff \lambda_1 \lambda_2 = -1$$

Η δεύτερη ξενίζει, αλλά βγαίνει από το εσωτερικό γινόμενο. Ένα διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία $y = \lambda x + \beta$ είναι το $(1, \lambda)$. Δύο τέτοια είναι κάθετα όταν

$$(1, \lambda_1) \cdot (1, \lambda_2) = 1 + \lambda_1 \lambda_2 = 0$$

δηλαδή ακριβώς όταν $\lambda_1\lambda_2 = -1$.

Απόσταση σημείου από ευθεία

$$d(A, \varepsilon) = \frac{|Ax_0 + By_0 + \Gamma|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Ο τύπος απαιτεί γενική μορφή με μηδέν στο δεξί μέλος. Αν η ευθεία δίνεται ως $y = 2x + 1$, πρώτα τη γράφεις $2x - y + 1 = 0$ και μετά διαβάζεις $A = 2$, $B = -1$, $\Gamma = 1$.

Η απόλυτη τιμή είναι εκεί γιατί η απόσταση δεν είναι ποτέ αρνητική. Το πρόσημο μέσα της κρύβει πληροφορία — σου λέει σε ποια πλευρά της ευθείας βρίσκεται το σημείο.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση