Κωνικές τομές

Ένας κώνος, τέσσερις τομές

Πάρε έναν διπλό κώνο και κόψ' τον με ένα επίπεδο. Η τομή που παίρνεις εξαρτάται μόνο από την κλίση του επιπέδου:

Τέσσερα σχήματα που μοιάζουν άσχετα — φακός, πέταλο, καμπύλη φυγής — είναι στην πραγματικότητα τέσσερις όψεις του ίδιου πράγματος. Γι' αυτό λέγονται κωνικές τομές, και γι' αυτό οι εξισώσεις τους μοιάζουν τόσο.

Ο κύκλος

Ο κύκλος με κέντρο $K(x_0, y_0)$ και ακτίνα $R$ είναι το σύνολο των σημείων που απέχουν $R$ από το $K$. Γράφοντας την απόσταση:

$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$$

Αν αναπτύξεις τα τετράγωνα, παίρνεις τη γενική μορφή $x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0$. Η αντίστροφη διαδρομή — από τη γενική στην κανονική — γίνεται με συμπλήρωση τετραγώνων, και είναι η πιο συχνή άσκηση του κεφαλαίου.

Έλλειψη και υπερβολή

Και οι δύο ορίζονται με αποστάσεις από δύο εστίες $E_1, E_2$:

• Έλλειψη: τα σημεία όπου το άθροισμα των αποστάσεων είναι σταθερό.
• Υπερβολή: τα σημεία όπου η διαφορά των αποστάσεων είναι σταθερή.

Μία λέξη αλλάζει, και μαζί της αλλάζει τα πάντα: στη μία περίπτωση η καμπύλη κλείνει, στην άλλη φεύγει στο άπειρο.

Έλλειψη:

$$\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1$$

Υπερβολή:

$$\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$$

Και στις εξισώσεις η διαφορά είναι επίσης μία: ένα πρόσημο.

Ένα πρόσημο, δύο σχήματα

Άλλαξε ανάμεσα στις δύο κωνικές με τα ίδια α και β. Οι μαύρες κουκκίδες είναι οι εστίες: παρακολούθησε πόσο απομακρύνονται από το κέντρο καθώς αλλάζεις τους αριθμούς.

ΈλλειψηΥπερβολή

α5

β3

Εξίσωσηx²/5² + y²/3² = 1

Απόσταση εστίας c4

Εκκεντρότητα e0,8

Κλειστή καμπύλη. Το άθροισμα των αποστάσεων από τις δύο εστίες είναι σταθερό.

Εκκεντρότητα

Η εκκεντρότητα $e = \frac{c}{\alpha}$ μετράει πόσο απέχει το σχήμα από τον κύκλο:

• $e = 0$: κύκλος. Οι δύο εστίες έχουν πέσει η μία πάνω στην άλλη, στο κέντρο.
• $0 < e < 1$: έλλειψη. Όσο μεγαλώνει, τόσο πιο «πεπλατυσμένη».
• $e = 1$: παραβολή.
• $e > 1$: υπερβολή.

Πού τις συναντάς

Οι κωνικές δεν είναι σχολική άσκηση. Ο Κέπλερ ανακάλυψε ότι οι πλανήτες κινούνται σε ελλείψεις με τον Ήλιο στη μία εστία — η Γη με $e \approx 0{,}017$, σχεδόν κύκλο, ο κομήτης του Χάλεϊ με $e \approx 0{,}97$.

Το παραβολικό κάτοπτρο συγκεντρώνει κάθε παράλληλη ακτίνα σε μία εστία: έτσι δουλεύουν τα δορυφορικά πιάτα και τα τηλεσκόπια. Και η ελλειπτική αίθουσα ψιθύρων, όπου ο ήχος από τη μία εστία φτάνει καθαρός στην άλλη, είναι η ίδια ιδιότητα σε άλλη κωνική.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση