Τριγωνομετρικοί τύποι

Το ημίτονο δεν είναι γραμμικό

Πρώτα το λάθος που κάνουν σχεδόν όλοι, γιατί αν μείνει κρυφό δηλητηριάζει όλο το κεφάλαιο:

$$\eta\mu(\alpha + \beta) \neq \eta\mu\alpha + \eta\mu\beta$$

Δοκίμασέ το με αριθμούς. Για $\alpha = \beta = 30°$: το αριστερό μέλος είναι $\eta\mu 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$, το δεξί $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$. Διαφορετικά.

Το ημίτονο δεν «μοιράζεται» πάνω στην πρόσθεση. Ο σωστός τύπος υπάρχει, αλλά είναι πιο ενδιαφέρων από όσο θα ήθελε κανείς.

Οι τύποι αθροίσματος

$$\eta\mu(\alpha + \beta) = \eta\mu\alpha \, \sigma\upsilon\nu\beta + \sigma\upsilon\nu\alpha \, \eta\mu\beta$$ $$\sigma\upsilon\nu(\alpha + \beta) = \sigma\upsilon\nu\alpha \, \sigma\upsilon\nu\beta - \eta\mu\alpha \, \eta\mu\beta$$

Δύο πράγματα βοηθούν στην απομνημόνευση:

• Στο ημίτονο τα ονόματα εναλλάσσονται (ημ-συν, συν-ημ) και το πρόσημο είναι ίδιο με αυτό της γωνίας.
• Στο συνημίτονο τα ονόματα μένουν ίδια (συν-συν, ημ-ημ) και το πρόσημο είναι αντίθετο.

Για τη διαφορά, αντικαθιστάς το $\beta$ με $-\beta$ και χρησιμοποιείς ότι το συνημίτονο είναι άρτιο ($\sigma\upsilon\nu(-\beta) = \sigma\upsilon\nu\beta$) και το ημίτονο περιττό ($\eta\mu(-\beta) = -\eta\mu\beta$):

$$\eta\mu(\alpha - \beta) = \eta\mu\alpha \, \sigma\upsilon\nu\beta - \sigma\upsilon\nu\alpha \, \eta\mu\beta$$ $$\sigma\upsilon\nu(\alpha - \beta) = \sigma\upsilon\nu\alpha \, \sigma\upsilon\nu\beta + \eta\mu\alpha \, \eta\mu\beta$$

Δεν είναι τέσσερις τύποι προς απομνημόνευση. Είναι δύο, συν ένας κανόνας για το πρόσημο.

Διπλάσιο τόξο, χωρίς νέα απομνημόνευση

Βάλε $\beta = \alpha$ στους τύπους αθροίσματος. Αυτό είναι όλο:

$$\eta\mu 2\alpha = 2 \, \eta\mu\alpha \, \sigma\upsilon\nu\alpha$$ $$\sigma\upsilon\nu 2\alpha = \sigma\upsilon\nu^2\alpha - \eta\mu^2\alpha$$

Ο δεύτερος έχει δύο ακόμη μορφές, που προκύπτουν αν αντικαταστήσεις με τη βασική ταυτότητα:

$$\sigma\upsilon\nu 2\alpha = 2\,\sigma\upsilon\nu^2\alpha - 1 = 1 - 2\,\eta\mu^2\alpha$$

Έλεγχος με γραφική παράσταση

Μια ταυτότητα λέει ότι δύο παραστάσεις είναι ίσες για κάθε τιμή. Γραφικά αυτό σημαίνει ότι οι δύο καμπύλες πέφτουν η μία πάνω στην άλλη — δεν τέμνονται απλώς κάπου.

Δύο γραφήματα, μία καμπύλη

Η συνεχής καμπύλη είναι το ημ2x και η διακεκομμένη το 2·ημx·συνx. Αν η ταυτότητα ισχύει, η διακεκομμένη κρύβεται εντελώς κάτω από τη συνεχή. Σύρε το πλάτος για να δεις ότι συμβαίνει για κάθε τιμή.

συντελεστής1

Ζωντανή ενημέρωση

Διαφορά στο x = 1

−0

• y = k·ημ2x
• y = k·2ημxσυνx

Πώς αποδεικνύεται μια ταυτότητα

Ο κανόνας είναι ένας: δουλεύεις στο ένα μέλος μέχρι να γίνει το άλλο. Δεν μεταφέρεις όρους από μέλος σε μέλος, γιατί αυτό προϋποθέτει ότι η ισότητα ισχύει — δηλαδή αυτό που πας να αποδείξεις.

Πρακτικά:

1. Ξεκίνα από το πιο περίπλοκο μέλος. Έχει περισσότερα περιθώρια απλοποίησης.
2. Γράψε τα πάντα σε ημίτονα και συνημίτονα. Οι εφαπτομένες σπάνια βοηθούν στη μέση μιας απόδειξης.
3. Ψάξε για τη βασική ταυτότητα, ακόμη και κρυμμένη: κάθε $1$ μπορεί να γίνει $\eta\mu^2 + \sigma\upsilon\nu^2$, και κάθε $\eta\mu^2$ μπορεί να γίνει $1 - \sigma\upsilon\nu^2$.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση