Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Το ακτίνιο μετράει μήκος, όχι μοίρες

Η μοίρα είναι σύμβαση: κάποιος αποφάσισε να κόψει τον κύκλο σε $360$ κομμάτια. Το ακτίνιο δεν είναι σύμβαση — προκύπτει από τον ίδιο τον κύκλο.

Ένα ακτίνιο είναι η γωνία που βαίνει σε τόξο μήκους ίσου με την ακτίνα. Επειδή η περιφέρεια είναι $2\pi R$, ολόκληρος ο κύκλος είναι $2\pi$ ακτίνια.

$$360° = 2\pi \text{ rad} \implies 1 \text{ rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57{,}3°$$

Οι μετατροπές είναι μία απλή μέθοδος των τριών:

Ο τριγωνομετρικός κύκλος

Στο ορθογώνιο τρίγωνο το ημίτονο ορίστηκε ως «απέναντι προς υποτείνουσα», και δούλευε μόνο για οξείες γωνίες. Ο μοναδιαίος κύκλος λύνει το πρόβλημα μια για πάντα.

Πάνω σε κύκλο ακτίνας $1$, φέρνεις τη γωνία $\theta$ από τον θετικό ημιάξονα $Ox$ και κοιτάς πού πέφτει το σημείο:

• το συνημίτονο είναι η τετμημένη του σημείου — πόσο δεξιά βρίσκεται
• το ημίτονο είναι η τεταγμένη του — πόσο ψηλά βρίσκεται

Τίποτα δεν χρειάζεται να είναι οξύ. Η γωνία μπορεί να είναι $200°$, $-40°$ ή $1000°$: το σημείο υπάρχει πάντα και έχει πάντα δύο συντεταγμένες.

Ημίτονο και συνημίτονο ως συντεταγμένες

Σύρε τη γωνία πέρα από τις 90°. Το αρνητικό πρόσημο δεν είναι νέος κανόνας — είναι σημείο που πέρασε αριστερά ή κάτω από έναν άξονα.

ημθ0,643

συνθ0,766

εφθ0,839

Τεταρτημόριο: ΠρώτοΠρόσημα

Γωνία40μοίρες

Από τον ορισμό βγαίνει αμέσως η βασική ταυτότητα: το σημείο ανήκει σε κύκλο ακτίνας $1$, άρα

$$\eta\mu^2 \theta + \sigma\upsilon\nu^2 \theta = 1$$

Είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα, τίποτα άλλο.

Και η εφαπτομένη:

$$\varepsilon\varphi\,\theta = \frac{\eta\mu\,\theta}{\sigma\upsilon\nu\,\theta}$$

που δεν ορίζεται όταν $\sigma\upsilon\nu\,\theta = 0$, δηλαδή στις $90°$ και $270°$ — εκεί το σημείο κάθεται πάνω στον κατακόρυφο άξονα και η αναλογία εκτοξεύεται.

Οι γραφικές παραστάσεις

Άφησε τη γωνία να τρέχει και κατέγραψε το ύψος του σημείου: παίρνεις το ημίτονο ως συνάρτηση. Το σημείο γυρίζει στη θέση του κάθε $2\pi$, άρα η συνάρτηση επαναλαμβάνεται κάθε $2\pi$. Αυτό σημαίνει περιοδική.

Για τη γενική μορφή $f(x) = \rho \cdot \eta\mu(\omega x)$:

• το $|\rho|$ είναι το πλάτος: πόσο ψηλά και χαμηλά φτάνει
• η περίοδος είναι $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$: μεγαλύτερο $\omega$ σημαίνει πιο σφιχτές κορυφές

Πλάτος και περίοδος

Το ρ τεντώνει την καμπύλη κατακόρυφα, το ω τη συμπιέζει οριζόντια. Πρόσεξε ότι το συνημίτονο είναι το ημίτονο μετατοπισμένο — ίδιο σχήμα, άλλη αφετηρία.

ρ1

ω1

Ζωντανή ενημέρωση

Πλάτος

1

Περίοδος

6,283

• y = ρ·ημ(ωx)
• y = ρ·συν(ωx)

Δοκίμασε

ΒασικήΔιπλό πλάτοςΜισή περίοδος

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση