Ιδιότητες συναρτήσεων

Η γραφική παράσταση είναι η περίληψη

Μια συνάρτηση $f$ αντιστοιχίζει σε κάθε $x$ του πεδίου ορισμού έναν αριθμό $f(x)$. Ο τύπος το λέει αυτό με σύμβολα· η γραφική παράσταση το λέει με μια εικόνα, και η εικόνα απαντάει γρηγορότερα στις περισσότερες ερωτήσεις.

Τέσσερα πράγματα διαβάζονται απευθείας από αυτήν: πού ανεβαίνει, πού κατεβαίνει, πού κορυφώνεται, και πόσο συμμετρική είναι.

Μονοτονία και ακρότατα

Σύρε τους συντελεστές. Πρόσεξε ότι η κορυφή χωρίζει τον άξονα σε δύο διαστήματα μονοτονίας — και ότι η τιμή της κορυφής είναι το ακρότατο.

α1

μετατόπιση οριζόντια1

μετατόπιση κατακόρυφα−2

Ζωντανή ενημέρωση

Κορυφή x

1

Ακρότατη τιμή

−2

• f(x) = α(x − h)² + k

Δοκίμασε

ΕλάχιστοΜέγιστοΆρτια

Μονοτονία: τι σημαίνει «ανεβαίνει»

Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα $\Delta$ όταν για κάθε ζεύγος $x_1, x_2 \in \Delta$ ισχύει

$$x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$$

και γνησίως φθίνουσα όταν η ανισότητα των τιμών αντιστρέφεται.

Ο ορισμός μιλάει για ζεύγη σημείων, όχι για ένα σημείο. Δεν έχει νόημα η πρόταση «η $f$ είναι αύξουσα στο $x = 3$» — η μονοτονία είναι ιδιότητα διαστήματος.

Πώς το αποδεικνύεις

Παίρνεις δύο τυχαία $x_1 < x_2$ του διαστήματος και εξετάζεις το πρόσημο της διαφοράς $f(x_2) - f(x_1)$. Αν βγαίνει πάντα θετική, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Το «τυχαία» είναι ουσιαστικό. Δύο συγκεκριμένοι αριθμοί δεν αποδεικνύουν τίποτα — δείχνουν μόνο ότι δεν βρήκες αντιπαράδειγμα ακόμη.

Ακρότατα

Η $f$ παρουσιάζει μέγιστο στο $x_0$ όταν $f(x) \leq f(x_0)$ για κάθε $x$ του πεδίου ορισμού, και ελάχιστο όταν ισχύει η αντίθετη ανισότητα.

Το $x_0$ είναι η θέση του ακροτάτου· το $f(x_0)$ είναι η τιμή του. Οι δύο αριθμοί δεν είναι ο ίδιος και οι ασκήσεις ρωτούν άλλοτε το ένα, άλλοτε το άλλο.

Άρτια και περιττή

Άρτια, όταν για κάθε $x$ του πεδίου ορισμού:

$$f(-x) = f(x)$$

Περιττή, όταν αντ' αυτού:

$$f(-x) = -f(x)$$

Και οι δύο ορισμοί απαιτούν το πεδίο ορισμού να είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν: αν ανήκει το $x$, πρέπει να ανήκει και το $-x$. Χωρίς αυτό η ερώτηση δεν τίθεται καν.

Η γεωμετρική σημασία:

Οι δυνάμεις εξηγούν και τα ονόματα: η $x^2$, η $x^4$ είναι άρτιες, η $x^3$, η $x^5$ περιττές. Άρτιος ή περιττός εκθέτης.

Και υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι ούτε το ένα ούτε το άλλο — η $f(x) = x^2 + x$ για παράδειγμα. Η τρίτη απάντηση είναι απολύτως έγκυρη.

Μετατοπίσεις

Από τη γραφική παράσταση της $f$ παίρνεις τέσσερις άλλες χωρίς να υπολογίσεις ούτε ένα σημείο:

• $f(x) + c$: μετατόπιση κατακόρυφα κατά $c$
• $f(x - h)$: μετατόπιση οριζόντια κατά $h$
• $-f(x)$: συμμετρία ως προς τον άξονα $x$
• $f(-x)$: συμμετρία ως προς τον άξονα $y$

Η δεύτερη ξενίζει: το $f(x - 3)$ μετατοπίζει δεξιά, όχι αριστερά. Ο λόγος είναι ότι για να πάρει η νέα συνάρτηση την τιμή που είχε η παλιά στο $0$, πρέπει το $x$ να φτάσει στο $3$.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση