Πολυώνυμα και πολυωνυμικές εξισώσεις

Η ταυτότητα της διαίρεσης

Όπως στους ακεραίους, έτσι και στα πολυώνυμα: όταν διαιρείς το $P(x)$ με το $\delta(x)$ παίρνεις πηλίκο $\pi(x)$ και υπόλοιπο $\upsilon(x)$ με

$$P(x) = \delta(x) \cdot \pi(x) + \upsilon(x)$$

και τον περιορισμό ότι ο βαθμός του $\upsilon(x)$ είναι γνησίως μικρότερος από τον βαθμό του $\delta(x)$. Αν δεν ήταν, η διαίρεση δεν θα είχε τελειώσει.

Ειδικά όταν διαιρείς με $x - \rho$, που είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο έχει βαθμό μηδέν: είναι σκέτος αριθμός. Και αυτός ο αριθμός δεν είναι τυχαίος.

Θεώρημα υπολοίπου

Βάλε $x = \rho$ στην ταυτότητα της διαίρεσης με $\delta(x) = x - \rho$:

$$P(\rho) = (\rho - \rho) \cdot \pi(\rho) + \upsilon = 0 \cdot \pi(\rho) + \upsilon = \upsilon$$

Σχήμα Horner

Η κανονική διαίρεση με $x - \rho$ δουλεύει, αλλά είναι αργή και γεμάτη ευκαιρίες για λάθος πρόσημο. Το σχήμα Horner κάνει την ίδια δουλειά με τρεις γραμμές αριθμών.

Κατεβάζεις τον πρώτο συντελεστή. Τον πολλαπλασιάζεις με το $\rho$, το γράφεις κάτω από τον επόμενο, προσθέτεις. Επαναλαμβάνεις ως το τέλος. Η τελευταία γραμμή είναι οι συντελεστές του πηλίκου, και το τελευταίο κελί της είναι το υπόλοιπο — άρα το $P(\rho)$.

Σχήμα Horner: P(x) = x³ − 3x² − 4x + 12

Διάλεξε υποψήφια ρίζα ανάμεσα στους διαιρέτες του 12. Το τελευταίο κελί της κάτω γραμμής είναι ταυτόχρονα το υπόλοιπο και η τιμή P(ρ).

Υποψήφια ρίζα ρ

123−246

P	1	−3	−4	12
× ρ		1	−2	−6
Άθροισμα	1	−2	−6	6

Υπόλοιπο = P(ρ)6

Το ρ δεν είναι ρίζα

Το υπόλοιπο δεν είναι μηδέν — αυτή η τιμή είναι το P(ρ).

Πού ψάχνεις τις ρίζες

Μια πολυωνυμική εξίσωση τρίτου ή τέταρτου βαθμού δεν έχει τύπο που να θυμάσαι. Έχει όμως κάτι καλύτερο: αν υπάρχει ακέραια ρίζα, είναι υποχρεωτικά διαιρέτης του σταθερού όρου.

Γιατί; Αν $P(\rho) = 0$ με $\rho$ ακέραιο, τότε

$$\alpha_\nu \rho^\nu + \dots + \alpha_1 \rho + \alpha_0 = 0 \implies \alpha_0 = -\rho(\alpha_\nu \rho^{\nu-1} + \dots + \alpha_1)$$

Η παρένθεση είναι ακέραιος, άρα το $\rho$ διαιρεί το $\alpha_0$.

Αυτό μετατρέπει ένα άπειρο ψάξιμο σε μια πεπερασμένη λίστα. Για σταθερό όρο $12$, οι υποψήφιοι είναι $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$ — δώδεκα δοκιμές στη χειρότερη περίπτωση, και συνήθως δύο ή τρεις.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση