Εκθετική συνάρτηση

Ο άγνωστος ανεβαίνει στον εκθέτη

Ως τώρα ο άγνωστος ήταν βάση: $x^2$, $x^3$. Στην εκθετική συνάρτηση αλλάζει θέση:

$$f(x) = \alpha^x, \qquad \alpha > 0, \ \alpha \neq 1$$

Οι δύο περιορισμοί δεν είναι διακοσμητικοί.

Η βάση πρέπει να είναι θετική γιατί αλλιώς η συνάρτηση δεν ορίζεται παντού: το $(-4)^{1/2}$ θα ήταν $\sqrt{-4}$, που δεν υπάρχει στους πραγματικούς. Δεν θα είχαμε συνάρτηση αλλά ένα κουρελιασμένο σύνολο σημείων.

Η βάση απαγορεύεται να είναι $1$ γιατί το $1^x = 1$ για κάθε $x$. Είναι συνάρτηση, απλώς σταθερή — και η σταθερή δεν έχει καμία από τις ιδιότητες που κάνουν την εκθετική χρήσιμη.

Η εκθετική y = αˣ

Σύρε τη βάση. Πρόσεξε δύο πράγματα: η καμπύλη δεν αγγίζει ποτέ τον οριζόντιο άξονα, και περνάει πάντα από το (0, 1) όποια κι αν είναι η βάση.

βάση α2

Ζωντανή ενημέρωση

f(0)

1

f(1)

2

f(3)

8

• y = αˣ
• y = 1

Οι τρεις συμπεριφορές

ΑύξησηΜείωσηΣταθερή — απαγορευμένη

Τι δείχνει το γράφημα

Και δύο πράγματα που ισχύουν και στις δύο περιπτώσεις:

• Περνάει πάντα από το σημείο $(0, 1)$, γιατί $\alpha^0 = 1$ για κάθε επιτρεπτή βάση.
• Παίρνει μόνο θετικές τιμές. Σύνολο τιμών $(0, +\infty)$.

Εκθετικές εξισώσεις

Επειδή η εκθετική είναι γνησίως μονότονη, είναι και «ένα προς ένα»: διαφορετικά $x$ δίνουν διαφορετικές τιμές. Άρα

$$\alpha^{x_1} = \alpha^{x_2} \iff x_1 = x_2$$

Αυτή η ισοδυναμία είναι όλη η τεχνική: φέρνεις τα δύο μέλη στην ίδια βάση και εξισώνεις τους εκθέτες.

Χρειάζεσαι τις ιδιότητες των δυνάμεων, που ισχύουν αυτούσιες:

$$\alpha^{x} \alpha^{y} = \alpha^{x+y}, \qquad \frac{\alpha^{x}}{\alpha^{y}} = \alpha^{x-y}, \qquad (\alpha^{x})^{y} = \alpha^{xy}$$

Πού συναντιέται στην πραγματικότητα

Η εκθετική περιγράφει κάθε μέγεθος που αλλάζει κατά σταθερό ποσοστό ανά μονάδα χρόνου — όχι κατά σταθερή ποσότητα.

$$N(t) = N_0 \cdot \alpha^t$$

Το $N_0$ είναι η αρχική τιμή και το $\alpha$ ο συντελεστής ανά περίοδο: $\alpha = 1{,}05$ για αύξηση $5\%$, $\alpha = 0{,}9$ για μείωση $10\%$.

Η διαφορά από τη γραμμική αύξηση φαίνεται αργά και μετά απότομα. Ένας λογαριασμός που ανεβαίνει $5\%$ τον χρόνο και ένας που ανεβαίνει σταθερά $50$ € τον χρόνο μοιάζουν για μια δεκαετία. Στα πενήντα χρόνια δεν συγκρίνονται.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση