Λογάριθμοι και λογαριθμική συνάρτηση

Η ερώτηση ανάποδα

Η δύναμη ρωτάει: «πόσο κάνει το $10^3$;» Απάντηση $1000$.

Ο λογάριθμος ρωτάει το ανάποδο: «σε ποια δύναμη πρέπει να υψώσω το $10$ για να πάρω $1000$;» Απάντηση $3$.

$$\log_{\alpha} x = y \iff \alpha^y = x$$

Οι δύο ισότητες λένε το ίδιο πράγμα. Η μετάφραση από τη μία στην άλλη είναι η μισή δουλειά σε κάθε άσκηση λογαρίθμων.

Ο λογάριθμος είναι εκθέτης. Αν το θυμάσαι μόνο αυτό, οι ιδιότητες που ακολουθούν δεν χρειάζεται να απομνημονευτούν: είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων, ειπωμένες ανάποδα.

Οι τρεις ιδιότητες

$$\log(x y) = \log x + \log y$$ $$\log \frac{x}{y} = \log x - \log y$$ $$\log x^{\kappa} = \kappa \log x$$

Η πρώτη είναι η καρδιά: ο λογάριθμος μετατρέπει τον πολλαπλασιασμό σε πρόσθεση. Ιστορικά αυτός ήταν ο λόγος που εφευρέθηκε — τρεις αιώνες πριν τα κομπιουτεράκια, ένας αστρονόμος που πολλαπλασίαζε επταψήφιους αριθμούς προτιμούσε να τους προσθέσει.

Η απόδειξη είναι μία γραμμή. Αν $x = \alpha^{\mu}$ και $y = \alpha^{\nu}$, τότε $xy = \alpha^{\mu+\nu}$, άρα $\log(xy) = \mu + \nu = \log x + \log y$.

Δύο λογάριθμοι με όνομα

Ο δεκαδικός λογάριθμος έχει βάση $10$ και γράφεται σκέτος $\log x$. Είναι αυτός που χρησιμοποιούν οι κλίμακες μέτρησης.

Ο φυσικός λογάριθμος έχει βάση $e \approx 2{,}718$ και γράφεται $\ln x$. Είναι αυτός που εμφανίζεται μόνος του σε κάθε φυσικό φαινόμενο ρυθμού μεταβολής — και θα καταλάβεις γιατί όταν φτάσεις στις παραγώγους.

Γιατί μετράμε σε λογαρίθμους

Ένας σεισμός $7$ Ρίχτερ δεν είναι «λίγο χειρότερος» από έναν $6$. Απελευθερώνει περίπου 30 φορές περισσότερη ενέργεια. Ένας $8$ είναι $900$ φορές ο $6$.

Το ίδιο με τον ήχο: η κλίμακα των ντεσιμπέλ είναι λογαριθμική γιατί το αυτί αντιλαμβάνεται εντάσεις που διαφέρουν κατά δώδεκα τάξεις μεγέθους. Και με το pH: από το $1$ στο $2$, η συγκέντρωση των ιόντων υδρογόνου πέφτει στο ένα δέκατο.

Ο λόγος είναι πρακτικός, και φαίνεται καλύτερα με δύο μπάρες:

Δύο τρόποι να σχεδιάσεις τον ίδιο αριθμό

Σύρε τον εκθέτη. Η πάνω μπάρα έχει μήκος όσο ο αριθμός — για τα μισά βήματα δεν φαίνεται καν. Η κάτω έχει μήκος όσο ο λογάριθμος, και παραμένει αναγνώσιμη σε όλο το εύρος.

Εκθέτης4

Ο αριθμός10.000

Ο λογάριθμός του4

10.000 — η γραμμική μπάρα είναι ήδη άχρηστη

Γραμμική κλίμακα

Μήκος ανάλογο του αριθμού10.000

Λογαριθμική κλίμακα

Μήκος ανάλογο του εκθέτη4

Λογαριθμικές εξισώσεις

Η στρατηγική έχει τρία βήματα, και το πρώτο παραλείπεται πιο συχνά από όλα:

1. Περιορισμοί. Γράψε ποια ορίσματα πρέπει να είναι θετικά, πριν κάνεις οποιαδήποτε πράξη.
2. Μάζεψε τους λογαρίθμους σε έναν με τις ιδιότητες.
3. Πέρνα στην εκθετική μορφή και λύσε.

Και στο τέλος ελέγχεις τις λύσεις στους περιορισμούς του βήματος 1. Οι ιδιότητες μπορούν να παράγουν λύσεις που δεν ανήκουν στο αρχικό πεδίο.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση