Μετάβαση στο περιεχόμενο
Akademio

Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Άπειρες λύσεις, και πώς τις γράφεις όλες με έναν τύπο.

27 λεπτά

Θα μάθεις να

  1. Να εξηγείς γιατί μια τριγωνομετρική εξίσωση έχει άπειρες λύσεις.
  2. Να γράφεις όλες τις λύσεις των ημθ = α, συνθ = α και εφθ = α με τους γενικούς τύπους.
  3. Να αναγνωρίζεις πότε μια εξίσωση είναι αδύνατη από το εύρος τιμών.
  4. Να επιλέγεις τις λύσεις που ανήκουν σε δοσμένο διάστημα.

Γιατί οι λύσεις δεν τελειώνουν ποτέ

Μια εξίσωση δευτέρου βαθμού έχει το πολύ δύο λύσεις. Μια τριγωνομετρική έχει άπειρες — και όχι επειδή είναι δύσκολη, αλλά επειδή η συνάρτηση είναι περιοδική.

Αν το ημx\eta\mu x παίρνει την τιμή 12\frac{1}{2} σε κάποιο xx, θα την ξαναπάρει και μετά από έναν πλήρη κύκλο, και μετά από δύο, και μετά από χίλιους. Η καμπύλη περνάει ξανά και ξανά από το ίδιο ύψος.

Πόσες φορές η καμπύλη περνάει από το ίδιο ύψος

Σύρε τη στάθμη α. Κάθε τομή της οριζόντιας ευθείας με την καμπύλη είναι μια λύση — και το σχέδιο συνεχίζεται δεξιά και αριστερά χωρίς τέλος.

Ζωντανή ενημέρωση
Στάθμη α
0,5
Λύσεις υπάρχουν όταν |α| ≤ 1
0,5
  • y = ημx
  • y = α

Τρεις καταστάσεις

Οι γενικοί τύποι

Το ζητούμενο δεν είναι να βρεις μια λύση αλλά να γράψεις όλες με έναν τύπο. Ο ακέραιος κ\kappa παρακάτω διατρέχει το Z\mathbb{Z}: κάθε τιμή του δίνει μια λύση.

Αν ημx=ημθ\eta\mu x = \eta\mu \theta, τότε

x=2κπ+θ∨x=2κπ+(π−θ)x = 2\kappa\pi + \theta \quad \lor \quad x = 2\kappa\pi + (\pi - \theta)

Αν συνx=συνθ\sigma\upsilon\nu x = \sigma\upsilon\nu \theta, τότε

x=2κπ+θ∨x=2κπ−θx = 2\kappa\pi + \theta \quad \lor \quad x = 2\kappa\pi - \theta

Αν εφ x=εφ θ\varepsilon\varphi\, x = \varepsilon\varphi\, \theta, τότε

x=κπ+θx = \kappa\pi + \theta

Οι τρεις τύποι δεν είναι αυθαίρετοι — διαβάζονται από τον κύκλο:

  • Για το ημίτονο, δύο σημεία έχουν το ίδιο ύψος: το θ\theta και το συμμετρικό του ως προς τον κατακόρυφο άξονα, δηλαδή το π−θ\pi - \theta.
  • Για το συνημίτονο, δύο σημεία έχουν την ίδια τετμημένη: το θ\theta και το συμμετρικό του ως προς τον οριζόντιο άξονα, δηλαδή το −θ-\theta.
  • Για την εφαπτομένη, η περίοδος είναι π\pi και όχι 2π2\pi, γι' αυτό αρκεί ένας κλάδος.

Όταν ζητείται διάστημα

Πολλές ασκήσεις ζητούν τις λύσεις σε ένα συγκεκριμένο διάστημα, π.χ. στο [0,2π)[0, 2\pi). Η μέθοδος είναι πάντα η ίδια:

  1. Γράψε τον γενικό τύπο.
  2. Δοκίμασε κ=0,1,−1,2,…\kappa = 0, 1, -1, 2, \dots
  3. Κράτα όσες τιμές πέφτουν μέσα στο διάστημα, σταμάτα όταν ξεφύγεις.

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Λύσε την ημx=12\eta\mu x = \frac{1}{2}

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Λύσε την 2 συνx+1=02\,\sigma\upsilon\nu x + 1 = 0

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Λύσε την 2 ημ2x−ημx−1=02\,\eta\mu^2 x - \eta\mu x - 1 = 0

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Λύσε την συνx=1,4\sigma\upsilon\nu x = 1{,}4

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

ΒασικήΆσκηση 1 από 4

Βρες τις λύσεις της ημx=0\eta\mu x = 0 στο διάστημα [0,2π)[0, 2\pi).

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Ερώτηση 1 από 8

Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση συνx=1,4\sigma\upsilon\nu x = 1{,}4;

Τα κατάφερες;

  • Να εξηγείς γιατί μια τριγωνομετρική εξίσωση έχει άπειρες λύσεις.
  • Να γράφεις όλες τις λύσεις των ημθ = α, συνθ = α και εφθ = α με τους γενικούς τύπους.
  • Να αναγνωρίζεις πότε μια εξίσωση είναι αδύνατη από το εύρος τιμών.
  • Να επιλέγεις τις λύσεις που ανήκουν σε δοσμένο διάστημα.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.