Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Δύο εξισώσεις, δύο ευθείες

Ένα γραμμικό σύστημα $2 \times 2$ γράφεται

$$\begin{cases} \alpha_1 x + \beta_1 y = \gamma_1 \\ \alpha_2 x + \beta_2 y = \gamma_2 \end{cases}$$

Κάθε εξίσωση είναι μια ευθεία. Λύση του συστήματος είναι ένα ζεύγος $(x, y)$ που ικανοποιεί και τις δύο — δηλαδή ένα σημείο που ανήκει και στις δύο ευθείες.

Από τη στιγμή που το δεις έτσι, οι τρεις πιθανές απαντήσεις παύουν να είναι τρεις κανόνες προς απομνημόνευση. Είναι τρεις εικόνες:

Δύο ευθείες, τρεις δυνατότητες

Η πρώτη ευθεία μένει σταθερή. Σύρε την κλίση και την τεταγμένη της δεύτερης: κοίτα πότε τέμνονται, πότε γίνονται παράλληλες και πότε πέφτουν η μία πάνω στην άλλη.

Πρώτη εξίσωσηy = x + 1

Δεύτερη εξίσωσηy = −x + 5

Μία λύση (2, 3)Διαφορετικές κλίσεις — οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο.

Κλίση−1

Τεταγμένη5

Οι δύο κλασικές μέθοδοι

Πριν τις ορίζουσες, δύο τεχνικές που χρειάζεσαι σε κάθε περίπτωση.

Αντικατάσταση. Λύνεις τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και τον βάζεις στην άλλη. Βολεύει όταν κάπου υπάρχει συντελεστής $1$ ή $-1$, γιατί τότε δεν εμφανίζονται κλάσματα.

Αντίθετοι συντελεστές. Πολλαπλασιάζεις τις εξισώσεις με κατάλληλους αριθμούς ώστε ο ένας άγνωστος να έχει αντίθετους συντελεστές, και τις προσθέτεις. Βολεύει όταν οι συντελεστές είναι «άβολοι» και δεν θέλεις να λύσεις ως προς τίποτα.

Και οι δύο δίνουν την ίδια απάντηση. Η δεύτερη είναι αυτή που, αν τη γενικεύσεις με γράμματα αντί για αριθμούς, γεννάει τις ορίζουσες.

Ορίζουσες: ο ίδιος υπολογισμός, μία φορά για πάντα

Η ορίζουσα ενός πίνακα $2 \times 2$ είναι ένας αριθμός:

$$\begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{vmatrix} = \alpha\delta - \beta\gamma$$

Χιαστί: γινόμενο της κύριας διαγωνίου μείον γινόμενο της δευτερεύουσας.

Για το σύστημα ορίζουμε τρεις:

$$D = \begin{vmatrix} \alpha_1 & \beta_1 \\ \alpha_2 & \beta_2 \end{vmatrix}, \quad D_x = \begin{vmatrix} \gamma_1 & \beta_1 \\ \gamma_2 & \beta_2 \end{vmatrix}, \quad D_y = \begin{vmatrix} \alpha_1 & \gamma_1 \\ \alpha_2 & \gamma_2 \end{vmatrix}$$

Το $D$ κρατάει τους συντελεστές των αγνώστων. Το $D_x$ προκύπτει από το $D$ αν αντικαταστήσεις τη στήλη του $x$ με τη στήλη των σταθερών· το $D_y$ αντίστοιχα για το $y$.

Όταν $D \neq 0$, το σύστημα έχει ακριβώς μία λύση:

$$x = \frac{D_x}{D}, \qquad y = \frac{D_y}{D}$$

Γιατί δουλεύει ο κανόνας

Δεν είναι μαγικό. Αν κάνεις απαλοιφή του $y$ με γράμματα, δηλαδή πολλαπλασιάσεις την πρώτη με $\beta_2$, τη δεύτερη με $\beta_1$ και αφαιρέσεις, παίρνεις

$$(\alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1)\, x = \gamma_1\beta_2 - \gamma_2\beta_1$$

Η παρένθεση αριστερά είναι ακριβώς το $D$ και το δεξί μέλος ακριβώς το $D_x$. Ο κανόνας των οριζουσών είναι η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών, γραμμένη μία φορά με γράμματα ώστε να μην την ξανακάνεις ποτέ.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση