Συστήματα εξισώσεων

Δύο εξισώσεις, δύο άγνωστοι

Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, όπως η $x + y = 5$, έχει άπειρες λύσεις: $(0,5)$, $(1,4)$, $(2,3)$ και ούτω καθεξής. Αν τις σχεδιάσεις όλες, παίρνεις μια ευθεία.

Όταν όμως ζητάς να ισχύουν δύο τέτοιες εξισώσεις ταυτόχρονα, ψάχνεις ζεύγη $(x, y)$ που ανήκουν και στις δύο ευθείες. Δηλαδή το σημείο τομής τους.

Αυτή η εικόνα δίνει αμέσως όλες τις δυνατές απαντήσεις, γιατί δύο ευθείες σε ένα επίπεδο μπορούν να κάνουν μόνο τρία πράγματα.

Δύο ευθείες σε ένα επίπεδο

Κάθε εξίσωση είναι μία ευθεία. Σύρε τους συντελεστές και βρες τις τρεις περιπτώσεις: τέμνονται, είναι παράλληλες, ή ταυτίζονται.

α₁1

β₁2

α₂−1

β₂4

Ζωντανή ενημέρωση

α₁ − α₂

2

• 1η εξίσωση
• 2η εξίσωση

Οι τρεις περιπτώσεις

ΤέμνονταιΠαράλληλεςΤαυτίζονται

Μέθοδος της αντικατάστασης

Λύνεις μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και βάζεις το αποτέλεσμα στην άλλη. Έτσι η δεύτερη εξίσωση μένει με έναν άγνωστο, και ξέρεις ήδη να τη λύνεις.

Διάλεξε τον άγνωστο με συντελεστή $1$ ή $-1$ αν υπάρχει — γλιτώνεις τα κλάσματα.

Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών

Πολλαπλασιάζεις τις εξισώσεις με κατάλληλους αριθμούς ώστε ο ένας άγνωστος να αποκτήσει αντίθετους συντελεστές, και μετά τις προσθέτεις. Ο άγνωστος εξαφανίζεται.

Είναι η πιο γρήγορη μέθοδος όταν κανένας συντελεστής δεν είναι $1$.

Πώς ξεχωρίζεις αδύνατο από αόριστο

Και στις δύο περιπτώσεις οι άγνωστοι εξαφανίζονται μαζί. Αυτό που μένει σου λέει ποια είναι ποια:

• Μένει κάτι ψευδές, όπως $0 = 7$ → αδύνατο, καμία λύση.
• Μένει κάτι αληθές, όπως $0 = 0$ → αόριστο, άπειρες λύσεις.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση