Ανισώσεις 1ου βαθμού

Ίδια δουλειά με τις εξισώσεις, με μία εξαίρεση

Μια ανίσωση λύνεται όπως μια εξίσωση: φέρνεις τα $x$ στο ένα μέλος, τους αριθμούς στο άλλο, και στο τέλος απομονώνεις το $x$. Οι επιτρεπτές κινήσεις είναι σχεδόν οι ίδιες:

• Προσθέτω ή αφαιρώ τον ίδιο αριθμό στα δύο μέλη. Η φορά δεν αλλάζει.
• Πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με θετικό αριθμό. Η φορά δεν αλλάζει.
• Πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό. Η φορά αντιστρέφεται.

Γιατί η λύση είναι διάστημα και όχι αριθμός

Μια εξίσωση πρώτου βαθμού έχει (συνήθως) μία λύση. Μια ανίσωση έχει άπειρες, και η απάντηση περιγράφει ποιες.

Δες το γραφικά: η λύση της $\alpha x + \beta > 0$ είναι τα $x$ για τα οποία η ευθεία $y = \alpha x + \beta$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x$.

Πού είναι θετική η αx + β;

Η σκιασμένη κατακόρυφη ζώνη είναι οι τιμές του x που λύνουν την ανίσωση — εκεί ακριβώς όπου η ευθεία περνάει πάνω από τον άξονα. Σύρε το α και δες τη λύση να γυρίζει πλευρά όταν το α αλλάζει πρόσημο.

α2

β−4

Ζωντανή ενημέρωση

Σύνορο

2

• y = αx + β

Το σημείο όπου η ευθεία κόβει τον άξονα είναι το σύνορο: εκεί αλλάζει η απάντηση από «όχι» σε «ναι». Αν $\alpha > 0$ η λύση είναι δεξιά του συνόρου, αν $\alpha < 0$ αριστερά. Αυτό είναι ακριβώς ο κανόνας της αντιστροφής, ιδωμένος από ψηλά.

Πίνακας προσήμου

Ο πίνακας προσήμου συνοψίζει το παραπάνω χωρίς σχήμα. Για την παράσταση $\alpha x + \beta$ με ρίζα $x_0 = -\frac{\beta}{\alpha}$:

«Ετερόσημο του $\alpha$ αριστερά, ομόσημο δεξιά» — αυτή είναι η μία φράση που πρέπει να θυμάσαι, και θα τη χρησιμοποιείς ξανά στο τριώνυμο.

Σύστημα ανισώσεων

Όταν σου δίνονται δύο ανισώσεις που πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα, λύνεις την καθεμία χωριστά και κρατάς την τομή.

Η τομή δύο ανισώσεων

Η πρώτη ανίσωση δίνει x > α, η δεύτερη x < β. Σύρε τα δύο άκρα: αν το α ξεπεράσει το β, οι λύσεις δεν έχουν κοινό σημείο και το σύστημα είναι αδύνατο.

α−2

β5

Ζωντανή ενημέρωση

Σύνολο λύσεων

−2 … 5

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση