Εξισώσεις 2ου βαθμού

Η διακρίνουσα και τι σου λέει πριν κάνεις πράξεις.

28 λεπτά

Θα μάθεις να

Να λύνεις κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού με τον τύπο και να ελέγχεις τη διακρίνουσα πρώτη.
Να συνδέεις το πλήθος των ριζών με τη θέση της παραβολής ως προς τον άξονα x.
Να χρησιμοποιείς άθροισμα και γινόμενο ριζών χωρίς να τις υπολογίσεις.
Να βρίσκεις το πρόσημο του τριωνύμου για κάθε x.

Η διακρίνουσα απαντάει πριν κάνεις πράξεις

Κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού γράφεται

\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0, \quad \alpha \neq 0

και λύνεται με τον τύπο

x = \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}, \qquad \Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma

Το $\Delta$ λέγεται διακρίνουσα και είναι το πρώτο πράγμα που υπολογίζεις — όχι επειδή το χρειάζεται ο τύπος, αλλά επειδή σου λέει τι θα βρεις:

$\Delta > 0$ → δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
$\Delta = 0$ → μία διπλή ρίζα, $x = -\frac{\beta}{2\alpha}$ .
$\Delta < 0$ → καμία πραγματική ρίζα. Η ρίζα αρνητικού δεν ορίζεται στους πραγματικούς.

Κλειδί

Η διακρίνουσα και η γραφική παράσταση λένε το ίδιο πράγμα με δύο γλώσσες:

$\Delta$	Ρίζες	Η παραβολή
$> 0$	δύο	κόβει τον άξονα $x$ σε δύο σημεία
$= 0$	μία διπλή	εφάπτεται στον άξονα $x$
$< 0$	καμία	δεν αγγίζει καθόλου τον άξονα $x$

Στην τελευταία περίπτωση η παραβολή είναι ολόκληρη πάνω ή ολόκληρη κάτω από τον άξονα — και ποιο από τα δύο το κρίνει το πρόσημο του $\alpha$ .

Άθροισμα και γινόμενο ριζών

Αν $x_1, x_2$ είναι οι ρίζες, τότε

S = x_1 + x_2 = -\frac{\beta}{\alpha}, \qquad P = x_1 x_2 = \frac{\gamma}{\alpha}

Αυτοί οι δύο τύποι σου επιτρέπουν να απαντήσεις ερωτήσεις χωρίς να λύσεις την εξίσωση: πόσο κάνει το $x_1^2 + x_2^2$ , είναι ομόσημες οι ρίζες, τι πρόσημο έχουν.

Χρήσιμη ταυτότητα που προκύπτει: $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$ .

Πρόσημο τριωνύμου

Όταν $\Delta > 0$ με ρίζες $x_1 < x_2$ , το τριώνυμο έχει:

πρόσημο ομόσημο του $\alpha$ έξω από τις ρίζες,
πρόσημο ετερόσημο του $\alpha$ ανάμεσά τους.

Η φράση που το θυμάσαι: «ετερόσημο ανάμεσα, ομόσημο έξω». Όταν $\Delta = 0$ το τριώνυμο είναι ομόσημο του $\alpha$ παντού εκτός από τη ρίζα, και όταν $\Delta < 0$ ομόσημο του $\alpha$ παντού.