Ακολουθίες — αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος

Δύο τρόποι να προχωρήσεις

Μια ακολουθία είναι μια αριθμημένη λίστα αριθμών: $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \dots$ Ο δείκτης λέει τη θέση, όχι την τιμή.

Δύο ακολουθίες εμφανίζονται παντού, και διαφέρουν σε ένα μόνο πράγμα: τι κάνεις για να πας στον επόμενο όρο.

• Αριθμητική πρόοδος — προσθέτεις πάντα τον ίδιο αριθμό $\omega$ (τη διαφορά). $3, 7, 11, 15, \dots$ με $\omega = 4$.
• Γεωμετρική πρόοδος — πολλαπλασιάζεις πάντα με τον ίδιο αριθμό $\lambda$ (τον λόγο). $3, 6, 12, 24, \dots$ με $\lambda = 2$.

Ο ν-οστός όρος

Για να φτάσεις από τον $\alpha_1$ στον $\alpha_\nu$ κάνεις $\nu - 1$ βήματα — όχι $\nu$. Αυτό το «μείον ένα» είναι το πιο συχνό λάθος της ενότητας.

Αριθμητική πρόοδος:

$$\alpha_\nu = \alpha_1 + (\nu - 1)\omega$$

Γεωμετρική πρόοδος:

$$\alpha_\nu = \alpha_1 \cdot \lambda^{\nu-1}$$

Γιατί η γεωμετρική «ξεφεύγει»

Οι δύο προόδοι ξεκινούν από το ίδιο σημείο, αλλά δεν παίζουν το ίδιο παιχνίδι. Σύρε τις παραμέτρους και δες πόσο γρήγορα χάνεται η μία από την άλλη.

Πρόσθεση εναντίον πολλαπλασιασμού

Και οι δύο ξεκινούν από τον ίδιο πρώτο όρο. Η μία προσθέτει ω κάθε φορά, η άλλη πολλαπλασιάζει με λ. Ο οριζόντιος άξονας είναι η θέση ν.

α₁2

ω3

λ1,5

• αριθμητική: α₁ + (ν−1)ω
• γεωμετρική: α₁·λ^(ν−1)

Η ευθεία ανεβαίνει σταθερά. Η καμπύλη ανεβαίνει όλο και πιο απότομα, γιατί κάθε βήμα της είναι ποσοστό του ήδη μεγαλύτερου προηγούμενου. Αυτή είναι η διαφορά ανάμεσα σε «βάζω $50$ € τον μήνα» και «ο λογαριασμός μου αποδίδει $5\%$ τον χρόνο».

Αθροίσματα

Αριθμητική πρόοδος:

$$S_\nu = \frac{\nu(\alpha_1 + \alpha_\nu)}{2}$$

Το κόλπο πίσω από αυτόν τον τύπο το βρήκε ο Γκάους ως παιδί: γράψε το άθροισμα μία φορά κανονικά και μία ανάποδα, και πρόσθεσέ τα κατά ζεύγη. Κάθε ζευγάρι δίνει το ίδιο, $\alpha_1 + \alpha_\nu$, και τα ζευγάρια είναι $\nu$. Άρα το διπλάσιο του αθροίσματος είναι $\nu(\alpha_1 + \alpha_\nu)$.

Γεωμετρική πρόοδος:

$$S_\nu = \alpha_1 \frac{\lambda^\nu - 1}{\lambda - 1}, \quad \lambda \neq 1$$

Ο περιορισμός $\lambda \neq 1$ δεν είναι διακοσμητικός: με $\lambda = 1$ όλοι οι όροι είναι ίσοι και το άθροισμα είναι απλώς $\nu \alpha_1$.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση