Βασικά γεωμετρικά σχήματα

Από πού ξεκινάει η Γεωμετρία

Η Γεωμετρία δεν ξεκινάει από σχήματα. Ξεκινάει από μια συμφωνία: κάποιες έννοιες τις δεχόμαστε χωρίς ορισμό, και κάποιες προτάσεις χωρίς απόδειξη.

• Αρχικές έννοιες: σημείο, ευθεία, επίπεδο. Δεν ορίζονται, γιατί κάθε ορισμός τους θα χρειαζόταν κάτι ακόμα πιο βασικό.
• Αξιώματα: προτάσεις που δεχόμαστε. Π.χ. «από δύο διαφορετικά σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία».
• Θεωρήματα: ό,τι αποδεικνύεται από τα παραπάνω.

Το λεξιλόγιο, με ακρίβεια

Το μήκος υπάρχει μόνο για τμήμα. Δεν έχει νόημα να ρωτήσεις πόσο μακριά είναι μια ευθεία.

Είδη γωνιών

• Οξεία: μικρότερη από $90°$
• Ορθή: ακριβώς $90°$
• Αμβλεία: ανάμεσα σε $90°$ και $180°$
• Ευθεία γωνία: $180°$

Δύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές αν έχουν άθροισμα $90°$ και παραπληρωματικές αν έχουν άθροισμα $180°$.

Σύρε τις κορυφές και δες τα είδη γωνιών να εμφανίζονται. Πρόσεξε ότι όσο κι αν παραμορφώσεις το τρίγωνο, ένα πράγμα δεν αλλάζει ποτέ.

Γωνίες σε ένα τρίγωνο

Σύρε τις κορυφές A, B, Γ. Δοκίμασε να φτιάξεις μια ορθή γωνία, μια αμβλεία, και ένα τρίγωνο με τρεις ίσες γωνίες.

Ζωντανή ενημέρωση

A

63°

B

47°

Γ

70°

Άθροισμα

180°

Πλευρές

BΓ22

ΓA18

AB23

Aₓ60

Aᵧ210

Bₓ290

Bᵧ210

Γₓ140

Γᵧ50

Το άθροισμα μένει $180°$ πάντα. Αυτό δεν είναι σύμπτωση των αριθμών που διάλεξες — είναι θεώρημα, και θα το αποδείξεις στην ενότητα των παράλληλων ευθειών.

Κάθετες και απόσταση

Δύο ευθείες είναι κάθετες όταν τέμνονται σχηματίζοντας ορθή γωνία. Γράφεται $\varepsilon_1 \perp \varepsilon_2$.

Η απόσταση σημείου από ευθεία είναι το μήκος του κάθετου τμήματος από το σημείο προς την ευθεία — όχι οποιουδήποτε τμήματος.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση