Τρίγωνα και κριτήρια ισότητας

Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα

Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν συμπίπτουν αν τα βάλεις το ένα πάνω στο άλλο — δηλαδή έχουν ίσες και τις τρεις πλευρές και ίσες και τις τρεις γωνίες.

Αυτά είναι έξι στοιχεία. Η καλή είδηση: δεν χρειάζεται να ελέγξεις και τα έξι. Τρία αρκούν, αν είναι τα σωστά τρία.

Ταξινόμηση

Ως προς τις πλευρές:

• Σκαληνό — καμία πλευρά ίση με άλλη.
• Ισοσκελές — δύο ίσες πλευρές. Οι γωνίες απέναντί τους είναι ίσες.
• Ισόπλευρο — τρεις ίσες πλευρές, άρα και τρεις γωνίες $60°$.

Ως προς τις γωνίες: οξυγώνιο, ορθογώνιο, αμβλυγώνιο — με βάση τη μεγαλύτερη γωνία.

Φτιάξε το τρίγωνο που θέλεις

Δοκίμασε να φτιάξεις ένα ισόπλευρο (τρεις γωνίες 60°), ένα ορθογώνιο (μία γωνία 90°) και ένα ισοσκελές (δύο ίσες γωνίες). Πρόσεξε ποιες πλευρές είναι ίσες κάθε φορά.

Ζωντανή ενημέρωση

A

63°

B

47°

Γ

70°

Άθροισμα

180°

Μήκη πλευρών

BΓ22

ΓA18

AB23

Aₓ60

Aᵧ210

Bₓ290

Bᵧ210

Γₓ140

Γᵧ50

Καθώς πειραματίζεσαι, πρόσεξε μια σταθερή σχέση: απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία βρίσκεται πάντα η μεγαλύτερη πλευρά. Ισχύει και το αντίστροφο.

Τριγωνική ανισότητα

Δεν φτιάχνεις τρίγωνο με οποιαδήποτε τρία μήκη. Κάθε πλευρά πρέπει να είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο:

$$|\beta - \gamma| < \alpha < \beta + \gamma$$

Η διαίσθηση είναι απλή: η ευθεία είναι ο συντομότερος δρόμος. Αν πας από το $B$ στο $\Gamma$ περνώντας από το $A$, κάνεις αναγκαστικά μεγαλύτερη διαδρομή από το να πας κατευθείαν.

Πώς γράφεται μια απόδειξη ισότητας

Πάντα με την ίδια δομή, και σε αυτή τη σειρά:

1. Τι δίνεται — γράψε τα δεδομένα ως ισότητες.
2. Τι θέλω — ποια δύο τρίγωνα ισχυρίζομαι ότι είναι ίσα.
3. Τα τρία στοιχεία — ένα-ένα, με αιτιολόγηση το καθένα.
4. Το κριτήριο — ονόμασέ το.
5. Το συμπέρασμα — τι προκύπτει από την ισότητα.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση