Μετάβαση στο περιεχόμενο
Akademio

Παράλληλες ευθείες

Το αίτημα της παραλληλίας και οι γωνίες που προκύπτουν.

22 λεπτά

Θα μάθεις να

  1. Να ονομάζεις τα ζεύγη γωνιών που σχηματίζει μια τέμνουσα.
  2. Να χρησιμοποιείς το αίτημα της παραλληλίας και προς τις δύο κατευθύνσεις.
  3. Να αποδεικνύεις ότι το άθροισμα γωνιών τριγώνου είναι 180°.
  4. Να υπολογίζεις εξωτερική γωνία τριγώνου χωρίς να βρεις πρώτα όλες τις εσωτερικές.

Το αίτημα που άλλαξε τα μαθηματικά

Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου είναι παράλληλες όταν δεν έχουν κοινό σημείο.

Ο Ευκλείδης χρειάστηκε ένα αίτημα που δεν μπορούσε να αποδείξει: από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μία ακριβώς παράλληλη προς αυτήν.

Για δύο χιλιάδες χρόνια μαθηματικοί προσπαθούσαν να το αποδείξουν από τα υπόλοιπα αξιώματα. Απέτυχαν — και η αποτυχία γέννησε τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες, πάνω στις οποίες στηρίζεται η γενική σχετικότητα. Το «προφανές» δεν ήταν προφανές.

Οι γωνίες που φτιάχνει μια τέμνουσα

Όταν μια ευθεία (η τέμνουσα) κόβει δύο άλλες, φτιάχνονται οκτώ γωνίες. Τα ονόματα των ζευγαριών τους:

ΖεύγοςΘέσηΑν οι ευθείες είναι παράλληλες
Εντός εναλλάξεκατέρωθεν της τέμνουσας, ανάμεσα στις ευθείεςίσες
Εντός εκτός επί τα αυτάίδια πλευρά, η μία μέσα η άλλη έξωίσες
Εντός επί τα αυτάίδια πλευρά, και οι δύο ανάμεσαπαραπληρωματικές
Κατακορυφήναπέναντι στην ίδια τομήπάντα ίσες

Η απόδειξη των 180°

Τώρα μπορούμε να αποδείξουμε αυτό που χρησιμοποιούσαμε ως δεδομένο.

Πάρε τρίγωνο ABΓAB\Gamma και φέρε από την κορυφή AA την παράλληλη ε\varepsilon προς τη BΓB\Gamma.

  1. Η ABAB είναι τέμνουσα των παράλληλων ε\varepsilon και BΓB\Gamma. Άρα η γωνία που σχηματίζει η ε\varepsilon αριστερά του AA είναι ίση με τη B^\widehat{B} (εντός εναλλάξ).
  2. Ομοίως, η AΓA\Gamma είναι τέμνουσα, άρα η γωνία δεξιά του AA είναι ίση με τη Γ^\widehat{\Gamma}.
  3. Οι τρεις γωνίες στην κορυφή AA — η μία ίση με τη B^\widehat{B}, η A^\widehat{A}, και η μία ίση με τη Γ^\widehat{\Gamma} — σχηματίζουν ευθεία γωνία.
A^+B^+Γ^=180°\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{\Gamma} = 180°

Δες το και πειραματικά: όσο κι αν παραμορφώσεις το τρίγωνο, το άθροισμα δεν κουνιέται.

Το άθροισμα δεν αλλάζει ποτέ

Σύρε τις κορυφές όσο θέλεις. Δοκίμασε ακραία σχήματα — πολύ πλατιά, πολύ στενά. Το άθροισμα μένει 180°.

Ζωντανή ενημέρωση
A
63°
B
47°
Γ
70°
Α + Β + Γ
180°

Εξωτερική γωνία

Η εξωτερική γωνία σε μια κορυφή είναι η παραπληρωματική της εσωτερικής. Από την απόδειξη πιο πάνω προκύπτει αμέσως:

εξωτερική γωνία = άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

ε1∥ε2\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2 και μια εντός εναλλάξ γωνία είναι 65°65°.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Τρίγωνο με A^=55°, B^=65°\widehat{A} = 55°, \ \widehat{B} = 65°. Βρες την εξωτερική στο Γ\Gamma.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Δείξε ότι αν x^=y^\widehat{x} = \widehat{y} (εντός εναλλάξ), τότε ε1∥ε2\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Οι γωνίες τριγώνου είναι 3x, 4x, 5x3x, \ 4x, \ 5x. Βρες τες.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

ΒασικήΆσκηση 1 από 4

Δύο παράλληλες τέμνονται από ευθεία. Μια εντός εναλλάξ γωνία είναι 65∘65^\circ. Πόση είναι η άλλη;

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Ερώτηση 1 από 8

Δύο παράλληλες τέμνονται από μια ευθεία. Μια εντός εναλλάξ γωνία είναι 72°72°. Πόση είναι η άλλη εντός εναλλάξ;

Τα κατάφερες;

  • Να ονομάζεις τα ζεύγη γωνιών που σχηματίζει μια τέμνουσα.
  • Να χρησιμοποιείς το αίτημα της παραλληλίας και προς τις δύο κατευθύνσεις.
  • Να αποδεικνύεις ότι το άθροισμα γωνιών τριγώνου είναι 180°.
  • Να υπολογίζεις εξωτερική γωνία τριγώνου χωρίς να βρεις πρώτα όλες τις εσωτερικές.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.