Παραλληλόγραμμα και τραπέζια

Ιδιότητες που αποδεικνύονται, δεν αποστηθίζονται.

24 λεπτά

Θα μάθεις να

Να ξέρεις τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου και από πού αποδεικνύονται.
Να χρησιμοποιείς τα κριτήρια: πότε ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Να τοποθετείς ορθογώνιο, ρόμβο και τετράγωνο στην ιεραρχία.
Να εφαρμόζεις το θεώρημα της διαμέσου τραπεζίου και τριγώνου.

Ένας ορισμός, τέσσερις συνέπειες

Παραλληλόγραμμο είναι το τετράπλευρο με τις απέναντι πλευρές παράλληλες. Αυτό είναι όλο — ένας ορισμός, μία απαίτηση.

Όλα τα υπόλοιπα αποδεικνύονται:

Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.
Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.
Οι διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές.
Οι διαγώνιοι διχοτομούνται (η καθεμία χωρίζει την άλλη σε δύο ίσα μέρη).

Κλειδί

Πώς αποδεικνύεται η πρώτη ιδιότητα, και γιατί αξίζει να το δεις:

Φέρε τη διαγώνιο $A\Gamma$ στο παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ . Στα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Gamma\Delta A$ :

$\widehat{BA\Gamma} = \widehat{\Delta\Gamma A}$ (εντός εναλλάξ, αφού $AB \parallel \Gamma\Delta$ )
$A\Gamma = A\Gamma$ (κοινή)
$\widehat{B\Gamma A} = \widehat{\Delta A\Gamma}$ (εντός εναλλάξ, αφού $B\Gamma \parallel A\Delta$ )

Κριτήριο Γ-Π-Γ, άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα $AB = \Gamma\Delta$ και $B\Gamma = A\Delta$ .

Πρόσεξε τι μόλις έγινε: η παραλληλία έγινε ισότητα γωνιών (προηγούμενη ενότητα), και η ισότητα γωνιών έγινε ισότητα τριγώνων (ενότητα πριν από αυτήν). Η Γεωμετρία χτίζεται σε στρώσεις.

Τα κριτήρια — η αντίστροφη κατεύθυνση

Για να αποδείξεις ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, αρκεί ένα από τα παρακάτω:

Απέναντι πλευρές ίσες.
Απέναντι γωνίες ίσες.
Οι διαγώνιοι διχοτομούνται.
Δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες.

Η ιεραρχία

Τα ειδικά παραλληλόγραμμα δεν είναι ξεχωριστά σχήματα — είναι παραλληλόγραμμα με επιπλέον απαίτηση:

Σχήμα	Επιπλέον απαίτηση	Επιπλέον ιδιότητα διαγωνίων
Ορθογώνιο	μία ορθή γωνία	διαγώνιοι ίσες
Ρόμβος	δύο διαδοχικές πλευρές ίσες	διαγώνιοι κάθετες, διχοτόμοι των γωνιών
Τετράγωνο	και τα δύο παραπάνω	ίσες και κάθετες

Τραπέζιο και διάμεσος

Τραπέζιο είναι το τετράπλευρο με δύο μόνο πλευρές παράλληλες (τις βάσεις). Η διάμεσός του ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών και ισούται με τον μέσο όρο των βάσεων:

\mu = \frac{\beta_1 + \beta_2}{2}

Το ίδιο θεώρημα σε τρίγωνο: το τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών είναι παράλληλο προς την τρίτη και ίσο με το μισό της.

Αυτό είναι στην ουσία η ίδια πρόταση: το τρίγωνο είναι τραπέζιο με τη μία βάση εκφυλισμένη σε σημείο, δηλαδή $\beta_2 = 0$ , και τότε $\mu = \frac{\beta_1}{2}$ .