Τριγωνομετρικοί αριθμοί

Τι σημαίνει ημίτονο γωνίας 150 μοιρών;

Στη Β΄ Γυμνασίου το ημίτονο ορίστηκε ως λόγος πλευρών σε ορθογώνιο τρίγωνο. Εκεί κάθε γωνία είναι οξεία, μικρότερη από $90^\circ$.

Τι γίνεται όμως με γωνία $150^\circ$; Δεν υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με τέτοια οξεία γωνία.

Χρειάζεται ένας ορισμός που να δουλεύει για κάθε γωνία. Και τον δίνει ένας κύκλος.

Ο τριγωνομετρικός κύκλος

Πάρε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα $1$. Φέρε ημιευθεία από το κέντρο, με γωνία $\omega$ από τον θετικό οριζόντιο άξονα, και βρες πού τέμνει τον κύκλο.

Αυτό το σημείο έχει συντεταγμένες $(\sigma\upsilon\nu\omega, \; \eta\mu\omega)$.

Δηλαδή: το συνημίτονο είναι η οριζόντια συντεταγμένη και το ημίτονο η κατακόρυφη.

Το σημείο πάνω στον κύκλο

Γύρισε τη γωνία. Το πορτοκαλί κομμάτι είναι το συνημίτονο και το μπλε το ημίτονο. Πρόσεξε πότε αλλάζουν πρόσημο.

ημω0,5

συνω0,866

εφω0,577

Τεταρτημόριο: 1ο — και τα δύο θετικάΤο πρόσημο δείχνει απλώς προς ποια μεριά των αξόνων βρίσκεται το σημείο.

Γωνία ω30°

Πρόσημα ανά τεταρτημόριο

Δεν χρειάζεται αποστήθιση: κοίτα σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται το σημείο. Αν είναι αριστερά, το συνημίτονο είναι αρνητικό. Αν είναι κάτω, το ημίτονο είναι αρνητικό.

Η βασική ταυτότητα

Το σημείο βρίσκεται πάνω σε κύκλο ακτίνας $1$. Από το Πυθαγόρειο, για κάθε γωνία:

$$\eta\mu^2\omega + \sigma\upsilon\nu^2\omega = 1$$

Και η εφαπτομένη ορίζεται ως πηλίκο:

$$\varepsilon\varphi\omega = \frac{\eta\mu\omega}{\sigma\upsilon\nu\omega}$$

Γι' αυτό δεν ορίζεται στις $90^\circ$ και στις $270^\circ$: εκεί το συνημίτονο είναι μηδέν.

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση