Λόγος τμημάτων και θεώρημα του Θαλή

Ο λόγος δύο τμημάτων

Ο λόγος δύο ευθύγραμμων τμημάτων $AB$ και $\Gamma\Delta$ είναι ο αριθμός που βγαίνει αν διαιρέσεις τα μήκη τους, μετρημένα με την ίδια μονάδα:

$\frac{AB}{\Gamma\Delta}$

Αν $AB = 6$ cm και $\Gamma\Delta = 8$ cm, ο λόγος είναι $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$. Σε χιλιοστά θα ήταν $\dfrac{60}{80}$, πάλι $\dfrac{3}{4}$. Ο λόγος δεν έχει μονάδα: λέει πόσες φορές χωράει το ένα τμήμα στο άλλο, όχι πόσο μακρύ είναι.

Τέσσερα τμήματα λέγονται ανάλογα όταν οι λόγοι τους ανά δύο είναι ίσοι:

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}$

Μια τέτοια ισότητα λέγεται αναλογία, και λύνεται όπως ήδη ξέρεις, «χιαστί»: $\alpha \cdot \delta = \beta \cdot \gamma$.

Παράλληλες που κόβουν ίσα

Ξεκίνα από μια παρατήρηση που μπορείς να ελέγξεις σε ένα τετράδιο με γραμμές. Οι γραμμές του είναι παράλληλες και ισαπέχουν. Τράβηξε μια λοξή ευθεία που τις κόβει: τα κομμάτια ανάμεσα σε διαδοχικές γραμμές βγαίνουν ίσα. Τράβηξε μια δεύτερη, πιο λοξή: τα κομμάτια της είναι μεγαλύτερα από της πρώτης, αλλά πάλι ίσα μεταξύ τους.

Αυτό ισχύει γενικά: αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει.

Έτσι χωρίζεις ένα τμήμα σε, ας πούμε, $5$ ίσα μέρη χωρίς να το μετρήσεις. Σημείωσε το τμήμα σε μια λωρίδα χαρτί και βάλ' τη λοξά πάνω στο τετράδιο, ώστε τα δύο άκρα να πέφτουν σε γραμμές που απέχουν πέντε διαστήματα. Οι τέσσερις ενδιάμεσες γραμμές το κόβουν σε πέντε ίσα κομμάτια.

Το θεώρημα του Θαλή

Τι γίνεται όταν οι παράλληλες δεν ισαπέχουν; Τα κομμάτια δεν είναι πια ίσα. Είναι όμως ανάλογα.

Το θεώρημα φέρει το όνομα του Θαλή του Μιλήσιου (6ος αι. π.Χ.). Η παράδοση, από αρχαίους συγγραφείς που έγραψαν αιώνες μετά, λέει ότι μέτρησε το ύψος μιας πυραμίδας από τη σκιά της. Αν το έκανε πράγματι δεν το ξέρουμε, και η απόδειξη του θεωρήματος όπως τη γράφουμε σήμερα είναι πολύ μεταγενέστερη.

Μέσα σε τρίγωνο

Η πιο συχνή μορφή του θεωρήματος είναι μέσα σε ένα τρίγωνο. Φέρε μια ευθεία παράλληλη προς τη $B\Gamma$, που κόβει την $AB$ στο $\Delta$ και την $A\Gamma$ στο $E$. Φαντάσου και μια τρίτη παράλληλη από το $A$: οι τρεις παράλληλες κόβουν τις δύο πλευρές, και το θεώρημα δίνει

$\frac{A\Delta}{\Delta B} = \frac{AE}{E\Gamma}$

Η παράλληλη μέσα στο τρίγωνο

Σύρε την παράλληλη προς τη βάση. Οι δύο πλευρές έχουν διαφορετικό μήκος, οπότε τα τέσσερα κομμάτια είναι όλα διαφορετικά. Κοίτα τι κάνουν οι δύο λόγοι.

Πού βρίσκεται η παράλληλη0,35

ΑΔ : ΔΒ0,538

ΑΕ : ΕΓ0,538

Οι δύο λόγοι συμπίπτουν

Τα μήκη αλλάζουν συνέχεια· οι λόγοι μένουν ίσοι, γιατί η ΔΕ μένει παράλληλη στη ΒΓ.

Μήκη τμημάτωνΑΔ 92,78 · ΔΒ 172,31 · ΑΕ 76,31 · ΕΓ 141,72

Από τον Θαλή στην ομοιότητα είναι ένα βήμα. Το τρίγωνο $A\Delta E$ έχει τις ίδιες γωνίες με το $AB\Gamma$, αφού η $\Delta E$ είναι παράλληλη στη $B\Gamma$, άρα τα δύο τρίγωνα είναι όμοια. Αυτό που στο προηγούμενο μάθημα λέγαμε «ανάλογες πλευρές» στηρίζεται ακριβώς σε αυτό το θεώρημα.

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση