Γεωμετρικά στερεά — επιφάνεια και όγκος

Πόσο χωράει και πόσο χαρτί θέλει

Δύο εντελώς διαφορετικές ερωτήσεις για το ίδιο κουτί:

Πόσο χωράει; Αυτό είναι ο όγκος, και μετριέται σε κυβικές μονάδες.

Πόσο χαρτί θέλει για να τυλιχτεί; Αυτό είναι η επιφάνεια, και μετριέται σε τετραγωνικές.

Οι δύο απαντήσεις δεν αλλάζουν μαζί, και πολλά προβλήματα στηρίζονται ακριβώς σε αυτή τη διαφορά.

Τέσσερα στερεά, δύο ρυθμίσεις

Διάλεξε στερεό και άλλαξε ακτίνα και ύψος. Σύγκρινε κύλινδρο και κώνο με τις ίδιες διαστάσεις: ο κώνος κρατά ακριβώς το ένα τρίτο.

ΠρίσμαΚύλινδροςΚώνοςΣφαίρα

ΌγκοςV = εμβαδόν βάσης × ύψος45

Ολική επιφάνειαE = 2 βάσεις + παράπλευρη78

Ακτίνα ή πλευρά βάσης3

Ύψος5

Πρίσμα και κύλινδρος: ίδια λογική

Και τα δύο έχουν δύο ίσες βάσεις και σταθερή διατομή σε όλο το ύψος τους. Γι' αυτό ο όγκος τους βγαίνει με τον ίδιο κανόνα:

$$V = E_{\beta} \cdot \upsilon$$

Για τον κύλινδρο η βάση είναι κύκλος, οπότε $V = \pi \rho^2 \upsilon$.

Η παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου είναι ακόμη πιο κομψή: αν την ξετυλίξεις, είναι ορθογώνιο με πλάτος την περίμετρο του κύκλου και ύψος το ύψος του κυλίνδρου.

$$E_{\pi} = 2\pi\rho \cdot \upsilon$$

Κώνος και σφαίρα

$$V_{\kappa} = \frac{\pi \rho^2 \upsilon}{3} \qquad V_{\sigma} = \frac{4\pi\rho^3}{3}$$

Το $3$ στον παρονομαστή του κώνου δεν είναι αυθαίρετο: τρεις κώνοι γεμίζουν ακριβώς τον κύλινδρο με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Είναι πείραμα που γίνεται με νερό.

Στην επιφάνεια του κώνου εμφανίζεται η γενέτειρα $\lambda$, δηλαδή η πλάγια πλευρά:

$$\lambda = \sqrt{\rho^2 + \upsilon^2}$$

Πυθαγόρειο, άλλη μια φορά.

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση