Ταυτότητες

Το τετράγωνο που λείπει

Πόσο κάνει το $(5 + 3)^2$;

Το ξέρεις: $8^2 = 64$.

Και πόσο κάνει το $5^2 + 3^2$; Κάνει $25 + 9 = 34$.

Οι δύο αριθμοί δεν είναι ίδιοι, και η διαφορά τους δεν είναι τυχαία: λείπουν $30$, δηλαδή ακριβώς $2 \cdot 5 \cdot 3$.

Πού κρύβεται ο μεσαίος όρος

Το μεγάλο τετράγωνο έχει πλευρά α + β. Δες σε τι κομμάτια σπάει, και πόσο πιάνουν τα δύο ορθογώνια που συχνά ξεχνιούνται.

(α + β)²25 + 30 + 9 = 64

α² + β²34

Τα δύο ορθογώνια: 30 · αυτά ακριβώς είναι το 2αβ που λείπει από τη λάθος γραφή

Πλευρά α5

Πλευρά β3

Οι τρεις που πρέπει να ξέρεις

$$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$$ $$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2$$ $$(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = \alpha^2 - \beta^2$$

Η τρίτη λέγεται διαφορά τετραγώνων και είναι η πιο χρήσιμη από τις τρεις: οι μεσαίοι όροι αλληλοαναιρούνται και μένουν μόνο δύο.

Γιατί γλιτώνουν χρόνο

Χωρίς ταυτότητα, το $103 \times 97$ θέλει πολλαπλασιασμό με χαρτί.

Με ταυτότητα:

$$103 \times 97 = (100 + 3)(100 - 3) = 100^2 - 3^2 = 10\,000 - 9 = 9991$$

Το ίδιο και για τετράγωνα: $52^2 = (50 + 2)^2 = 2500 + 200 + 4 = 2704$.

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση