Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη ως λόγοι πλευρών.

30 λεπτά

Θα μάθεις να

Να ορίζεις ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη ως λόγους πλευρών ορθογωνίου τριγώνου.
Να εξηγείς γιατί οι λόγοι αυτοί εξαρτώνται μόνο από τη γωνία και όχι από το μέγεθος.
Να υπολογίζεις άγνωστη πλευρά ή γωνία με τον κατάλληλο τριγωνομετρικό αριθμό.

Η γωνία αρκεί

Σχεδίασε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μια οξεία γωνία $30^\circ$ . Μέτρα την απέναντι κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα, και κάνε τη διαίρεση.

Θα βρεις $0{,}5$ .

Σχεδίασε τώρα ένα διπλάσιο τρίγωνο, πάλι με γωνία $30^\circ$ . Ξαναμέτρα, ξανακάνε τη διαίρεση.

Πάλι $0{,}5$ .

Οι πλευρές άλλαξαν, ο λόγος τους όχι. Γι' αυτό μπορεί να υπάρχει πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών: ο λόγος εξαρτάται μόνο από τη γωνία.

Οι τρεις λόγοι

Σε ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία $\omega$ , ονόμασε $\alpha$ την απέναντι κάθετη πλευρά, $\beta$ την προσκείμενη και $\gamma$ την υποτείνουσα:

\eta\mu\omega = \frac{\alpha}{\gamma} \qquad \sigma\upsilon\nu\omega = \frac{\beta}{\gamma} \qquad \varepsilon\varphi\omega = \frac{\alpha}{\beta}

Η απέναντι κάθετη πλευρά είναι αυτή που δεν αγγίζει τη γωνία $\omega$ . Η προσκείμενη είναι η άλλη κάθετη, αυτή που σχηματίζει τη γωνία μαζί με την υποτείνουσα.

Δύο ρυθμίσεις, μόνο η μία μετράει

Άλλαξε πρώτα το μέγεθος: οι πλευρές μεγαλώνουν, οι τρεις λόγοι μένουν ακίνητοι. Μετά άλλαξε τη γωνία.

Απέναντι3

Προσκείμενη5,2

Υποτείνουσα6

ημωΑπέναντιΥποτείνουσα0,5

συνωΠροσκείμενηΥποτείνουσα0,866

εφωΑπέναντιΠροσκείμενη0,577

Το μέγεθος αλλάζει τις πλευρές, αλλά κανέναν από τους τρεις λόγους.

Γωνία ω30°

Μέγεθος τριγώνου6

Οι τιμές που αξίζει να ξέρεις

$\omega$	$\eta\mu\omega$	$\sigma\upsilon\nu\omega$	$\varepsilon\varphi\omega$
$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

Πρόσεξε τη συμμετρία: το ημίτονο των $30^\circ$ ισούται με το συνημίτονο των $60^\circ$ . Λογικό — στο ίδιο τρίγωνο, η απέναντι πλευρά της μιας οξείας γωνίας είναι η προσκείμενη της άλλης.

Ας το κάνουμε μαζί

Παράδειγμα 1

Σε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι 10 cm και η γωνία ω = 30°. Πόσο είναι η απέναντι κάθετη πλευρά;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Ένα κεκλιμένο επίπεδο ανεβαίνει με γωνία 20° και έχει μήκος 12 m. Σε τι ύψος φτάνει; (ημ20° ≈ 0,34)

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Δέντρο ρίχνει σκιά 8 m όταν οι ακτίνες του ήλιου σχηματίζουν 45° με το έδαφος. Πόσο ψηλό είναι;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

Βασική

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, ποιος λόγος δίνει το ημίτονο μιας οξείας γωνίας;

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, ποιος λόγος δίνει το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας;

Προσκείμενη κάθετη προς υποτείνουσαΑπέναντι κάθετη προς υποτείνουσαΑπέναντι κάθετη προς προσκείμενηΥποτείνουσα προς προσκείμενη

Τα κατάφερες;

Να ορίζεις ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη ως λόγους πλευρών ορθογωνίου τριγώνου.
Να εξηγείς γιατί οι λόγοι αυτοί εξαρτώνται μόνο από τη γωνία και όχι από το μέγεθος.
Να υπολογίζεις άγνωστη πλευρά ή γωνία με τον κατάλληλο τριγωνομετρικό αριθμό.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.