Εγγεγραμμένες γωνίες και κανονικά πολύγωνα

Δύο γωνίες που κοιτάνε το ίδιο τόξο

Πάρε έναν κύκλο με κέντρο $O$ και δύο σημεία του, $A$ και $B$. Το κομμάτι του κύκλου ανάμεσά τους είναι ένα τόξο. Αυτό το τόξο μπορείς να το «δεις» από δύο είδη θέσεων.

• Από το κέντρο. Η γωνία $AOB$ λέγεται επίκεντρη: η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου.
• Από ένα σημείο $\Gamma$ πάνω στον κύκλο. Η γωνία $A\Gamma B$ λέγεται εγγεγραμμένη: η κορυφή της είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι χορδές.

Και στις δύο περιπτώσεις λέμε ότι η γωνία βαίνει στο τόξο $AB$, αυτό που βρίσκεται ανάμεσα στις πλευρές της.

Το τόξο μετριέται κι αυτό σε μοίρες: ένα τόξο έχει τόσες μοίρες όσες η επίκεντρη γωνία που βαίνει σε αυτό. Ολόκληρος ο κύκλος είναι $360°$, ένα ημικύκλιο $180°$.

Το μισό, πάντα

Γιατί ισχύει; Δες την πιο απλή περίπτωση, όταν η μία πλευρά της εγγεγραμμένης περνά από το κέντρο. Το τρίγωνο $O\Gamma B$ είναι ισοσκελές, γιατί $O\Gamma = OB$ (ακτίνες). Οι δύο ίσες γωνίες του στη βάση αθροίζουν όσο η εξωτερική γωνία $AOB$. Άρα η καθεμιά, και μαζί η εγγεγραμμένη, είναι το μισό της. Οι άλλες περιπτώσεις ανάγονται σε αυτή.

Κανονικά πολύγωνα

Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωνίες ίσες. Το ισόπλευρο τρίγωνο και το τετράγωνο είναι τα πιο γνωστά. Ένας ρόμβος δεν είναι κανονικός: έχει ίσες πλευρές, όχι όμως ίσες γωνίες.

Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε κύκλο: υπάρχει κύκλος που περνά από όλες τις κορυφές του. Το κέντρο $O$ αυτού του κύκλου λέγεται και κέντρο του πολυγώνου.

Αν ενώσεις το κέντρο με δύο διαδοχικές κορυφές, σχηματίζεται η κεντρική γωνία $\omega$. Οι $\nu$ κεντρικές γωνίες είναι ίσες και γεμίζουν τον κύκλο, άρα

$\omega = \frac{360°}{\nu}$

Η γωνία του πολυγώνου $\varphi$, στην κορυφή του, είναι παραπληρωματική της κεντρικής:

$\varphi = 180° - \omega$

Από πού έρχεται: κάθε κεντρική γωνία φτιάχνει με μια πλευρά ένα ισοσκελές τρίγωνο. Οι δύο γωνίες της βάσης του αθροίζουν $180° - \omega$, και η γωνία του πολυγώνου αποτελείται ακριβώς από δύο τέτοια μισά, ένα από κάθε γειτονικό τρίγωνο.

Ποια γωνία είναι;

Διάλεξε μια περίπτωση και μετά τη γωνία που της αντιστοιχεί. Οι λάθος επιλογές σου λένε ποιο μέγεθος βρήκες στη θέση του ζητούμενου.

Διάλεξε περίπτωση

Η κεντρική γωνία του κανονικού πενταγώνουΗ γωνία του κανονικού πενταγώνου, στην κορυφή τουΗ γωνία του κανονικού εξαγώνου, στην κορυφή τουΗ κεντρική γωνία του κανονικού οκταγώνουΕγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε τόξο 120°Εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο ίδιο τόξο με μια επίκεντρη 144°

Πόσες μοίρες;

45°60°72°108°120°

Πόσες μοίρες;

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση