Λόγοι, αναλογίες και ποσοστά

Ο λόγος κρατάει τη σχέση, όχι το μέγεθος

Μια λεμονάδα φτιάχνεται με $2$ μέρη χυμό και $3$ μέρη νερό. Αν διπλασιάσεις τη δόση, βάζεις $4$ και $6$. Αν δεκαπλασιάσεις, $20$ και $30$.

Οι αριθμοί άλλαξαν κάθε φορά. Η γεύση δεν άλλαξε — γιατί ο λόγος έμεινε $2 : 3$.

Η ίδια συνταγή, άλλη ποσότητα

Άλλαξε τη δόση. Οι ποσότητες μεγαλώνουν, αλλά ο λόγος ανάμεσά τους μένει ο ίδιος.

Χυμός λεμονιού2

Νερό3

Λόγος2 : 3ανά δόσηΣύνολο 5

Δόση

−1+

Ο λόγος $2 : 3$ γράφεται και $\frac{2}{3}$. Είναι ο ίδιος αριθμός με το κλάσμα — γι' αυτό απλοποιείται με τον ίδιο τρόπο: $10 : 15$ είναι κι αυτός $2 : 3$.

Αναλογία: δύο λόγοι που είναι ίσοι

Όταν δύο λόγοι είναι ίσοι, γράφουμε:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

Από αυτό βγαίνει ο κανόνας των χιαστί γινομένων: $a \times d = b \times c$. Δεν είναι μαγικός — προκύπτει αν πολλαπλασιάσεις και τα δύο μέλη με $b \times d$.

Έτσι, όταν ξέρεις τρεις από τους τέσσερις αριθμούς, βρίσκεις τον τέταρτο.

Το ποσοστό είναι κλάσμα με παρονομαστή 100

$$25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$

Γι' αυτό το «$\%$» δεν είναι μονάδα. Είναι συντομογραφία του «ανά εκατό».

Για να βρεις ποσοστό ενός αριθμού, πολλαπλασιάζεις. Το $30\%$ του $80$:

$0{,}30 \times 80 = 24$

Αυξήσεις και εκπτώσεις με έναν συντελεστή

Έκπτωση και αύξηση

Άλλαξε την τιμή και το ποσοστό, και δες τον συντελεστή που κάνει τη δουλειά με έναν πολλαπλασιασμό.

ΈκπτωσηΑύξηση

Μεταβολή−18 €Τελική τιμή42 €Συντελεστής 60 € × 70% = 42 €Πληρώνεις ό,τι απομένει από το 100%

Αρχική τιμή

−10−160+1+10

Ποσοστό

−5−130+1+5

Οι περισσότεροι κάνουν δύο βήματα: βρίσκουν την έκπτωση, μετά την αφαιρούν. Δουλεύει, αλλά υπάρχει πιο καθαρός δρόμος.

Έκπτωση $30\%$ σημαίνει ότι πληρώνεις το $70\%$, δηλαδή $42$ €:

$60 \times 0{,}70 = 42$

Αύξηση $30\%$ σημαίνει ότι πληρώνεις το $130\%$, δηλαδή $78$ €:

$60 \times 1{,}30 = 78$

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση