Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί

Το μηδέν έπαψε να είναι το τέρμα

Στο Δημοτικό η αριθμογραμμή ξεκινούσε από το $0$ και πήγαινε δεξιά. Το «$3 - 5$» δεν είχε απάντηση.

Έχει. Η γραμμή συνεχίζει και αριστερά.

Θερμοκρασία $-4$ °C, στάθμη $-2$ όροφοι, τραπεζικός λογαριασμός $-150$ €. Το πρόσημο δεν λέει «λάθος» — λέει κατεύθυνση από ένα σημείο αναφοράς.

Κίνηση πάνω στον άξονα

Διάλεξε σημείο εκκίνησης και μετακίνηση. Πρόσεξε ότι το πρόσημο λέει προς τα πού, και το μέγεθος πόσο.

3 − 5 = −2αριστεράκάτω από το μηδέν

Ξεκινάς από

−3+

Μετακίνηση

−−5+

Σύγκριση: δεξιότερα σημαίνει μεγαλύτερο

Στον άξονα, μεγαλύτερος είναι πάντα ο δεξιότερος. Απλό — αλλά ανατρέπει μια συνήθεια:

$$-7 < -2$$

Το $7$ είναι μεγαλύτερο από το $2$, όμως το $-7$ είναι μικρότερο από το $-2$. Χρέος $7$ ευρώ είναι χειρότερη θέση από χρέος $2$.

Πρόσθεση: ίδια πρόσημα, διαφορετικά πρόσημα

Με ίδια πρόσημα, προσθέτεις τις απόλυτες τιμές και κρατάς το πρόσημο. Δύο χρέη κάνουν μεγαλύτερο χρέος:

$$(-3) + (-5) = -8$$

Με διαφορετικά πρόσημα, αφαιρείς τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη, και κρατάς το πρόσημο του «δυνατότερου». Κέρδος και χρέος αλληλοεξουδετερώνονται:

$$(-8) + 3 = -5 \qquad 8 + (-3) = 5$$

Αφαίρεση: δεν υπάρχει, στην πραγματικότητα

Κάθε αφαίρεση είναι πρόσθεση του αντίθετου:

$$a - b = a + (-b)$$

Αυτό δεν είναι κόλπο για να θυμάσαι κανόνες. Είναι ότι η αφαίρεση παύει να είναι ξεχωριστή πράξη. Μένει μόνο η πρόσθεση.

$$5 - 8 = 5 + (-8) = -3$$ $$-4 - (-6) = -4 + 6 = 2$$

Πολλαπλασιασμός: γιατί μείον επί μείον κάνει συν

Ο πρώτος κανόνας βγαίνει εύκολα. Το $3 \times (-2)$ σημαίνει «τρεις φορές χρέος $2$», δηλαδή $-6$.

Ο δεύτερος ξενίζει. Δες όμως τι απαιτεί η συνέπεια του μοτίβου:

Κάθε φορά που ο πρώτος παράγοντας μειώνεται κατά $1$, το αποτέλεσμα αυξάνεται κατά $2$. Για να συνεχιστεί το μοτίβο, το επόμενο πρέπει να είναι $+2$.

$$(-1) \times (-2) = 2$$

Δεν το αποφάσισε κάποιος. Είναι ο μόνος τρόπος να μη σπάσουν οι ιδιότητες των πράξεων.

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση