Δυνάμεις και τετραγωνική ρίζα

Ο εκθέτης μετράει παράγοντες, όχι πολλαπλασιασμούς

Το $3^4$ σημαίνει τέσσερις τριάρια πολλαπλασιασμένα:

$$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$$

Η διατύπωση έχει σημασία. Δεν είναι «πολλαπλασιάζεις τέσσερις φορές» — οι πολλαπλασιασμοί είναι τρεις. Είναι πόσοι παράγοντες υπάρχουν.

Μοιάζει λεπτομέρεια. Είναι ο λόγος που το $a^1$ και το $a^0$ βγάζουν νόημα.

Άνοιξε τη δύναμη

Άλλαξε βάση και εκθέτη. Μέτρα τα πλακίδια: είναι ακριβώς όσα λέει ο εκθέτης.

3⁴

Αναπτυγμένο3×3×3×34 παράγοντες

Αξία81

Βάση

−3+

Εκθέτης

−4+

Οι ιδιότητες, και από πού βγαίνουν

Καμία δεν χρειάζεται αποστήθιση αν θυμάσαι ότι ο εκθέτης μετράει παράγοντες.

Ίδια βάση, πολλαπλασιασμός — βάζεις τους παράγοντες στη σειρά:

$$a^3 \times a^2 = (a \cdot a \cdot a)(a \cdot a) = a^5$$ $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$

Ίδια βάση, διαίρεση — όσοι παράγοντες απλοποιούνται, φεύγουν:

$$a^m : a^n = a^{m-n}$$

Δύναμη δύναμης — $m$ ομάδες των $n$ παραγόντων:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Γινόμενο υψωμένο σε δύναμη:

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$

Τετραγωνική ρίζα: η ερώτηση αντίστροφα

Η δύναμη ρωτάει «πόσο κάνει $7^2$;». Η ρίζα ρωτάει το ανάποδο: «ποιος αριθμός στο τετράγωνο δίνει $49$;»

Η ρίζα του $49$ είναι $7$, γιατί $7^2 = 49$:

$\sqrt{49} = 7$

Οι αριθμοί που έχουν ακέραια ρίζα λέγονται τέλεια τετράγωνα. Αξίζει να ξέρεις τα πρώτα:

$$1, \; 4, \; 9, \; 16, \; 25, \; 36, \; 49, \; 64, \; 81, \; 100, \; 121, \; 144$$

Όταν η ρίζα δεν είναι ακέραια

Το $\sqrt{40}$ δεν είναι ακέραιος. Δεν χρειάζεσαι όμως κομπιουτεράκι για να ξέρεις πού βρίσκεται:

$$36 < 40 < 49 \;\Rightarrow\; 6 < \sqrt{40} < 7$$

Και επειδή το $40$ είναι πιο κοντά στο $36$, η ρίζα του είναι λίγο πάνω από $6$. (Είναι $6{,}32\ldots$)

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση