Δυαδικό και δεκαεξαδικό σύστημα

Το ίδιο πλήθος, άλλη γραφή

Στο προηγούμενο μάθημα είδαμε ότι ο υπολογιστής γράφει τα πάντα με 0 και 1. Πώς όμως γράφεται με δύο μόνο ψηφία ένας αριθμός όπως το 182; Για να το καταλάβεις, ξεκίνα από το σύστημα που ήδη ξέρεις.

Στο δεκαδικό σύστημα έχουμε δέκα ψηφία, 0 έως 9, και κάθε θέση αξίζει δέκα φορές όσο η θέση στα δεξιά της:

$$365 = 3 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 5 \cdot 1$$

Το $3$ δεν αξίζει τρία, αξίζει τριακόσια, επειδή κάθεται στη θέση των εκατοντάδων. Ένα σύστημα όπου η αξία του ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του λέγεται θεσιακό, και ο αριθμός που πολλαπλασιάζει κάθε θέση ($10$ εδώ) λέγεται βάση.

Αν αλλάξεις τη βάση, αλλάζει μόνο η γραφή. Το πλήθος μένει το ίδιο: δεκαπέντε μήλα είναι δεκαπέντε μήλα, όπως κι αν τα γράψεις.

Το δυαδικό σύστημα: βάση 2

Στο δυαδικό σύστημα υπάρχουν μόνο δύο ψηφία, 0 και 1, και κάθε θέση αξίζει διπλάσια από τη θέση στα δεξιά της:

Για να βρεις πόσο αξίζει ένας δυαδικός αριθμός, προσθέτεις τις αξίες των θέσεων που έχουν 1:

$$1011_2 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$$

Το μικρό $2$ κάτω δεξιά λέει σε ποια βάση είναι γραμμένος ο αριθμός. Χωρίς αυτό, το «1011» θα διαβαζόταν «χίλια έντεκα».

Οκτώ bit, ένα byte

Άναψε τα κουτάκια ώστε το άθροισμα να γίνει 200. Ξεκίνα από το μεγαλύτερο κουτάκι που χωράει και προχώρα προς τα δεξιά.

Φτιάξε το 200

1280

640

320

160

80

40

20

10

Δυαδικός: 00000000

Άθροισμα: 0

Δεκαδικός: 0

Σβήσ' τα όλα

Με $8$ bit ο μεγαλύτερος αριθμός είναι το $11111111_2 = 255$, όταν όλα τα κουτάκια είναι αναμμένα. Μαζί με το $0$ κάνουν τις $256$ τιμές ενός byte.

Από δεκαδικό σε δυαδικό

Υπάρχουν δύο τρόποι.

1. Αφαιρείς τις μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. Αυτό έκανες στα κουτάκια: για το $200$, το $128$ χωράει (μένουν $72$), το $64$ χωράει (μένουν $8$), το $32$ και το $16$ δεν χωράνε, το $8$ χωράει (μένει $0$). Όπου χώρεσε γράφεις 1, αλλού 0.

2. Διαιρείς διαδοχικά με το 2. Διαιρείς τον αριθμό με το $2$, κρατάς το υπόλοιπο (0 ή 1), και συνεχίζεις με το πηλίκο, ώσπου το πηλίκο να γίνει $0$. Ο δυαδικός αριθμός είναι τα υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω.

Το 44 σε δυαδικό, με διαιρέσεις

Πριν δεις κάθε γραμμή, βρες μόνος σου το πηλίκο και το υπόλοιπο.

Βήμα	Διαίρεση	Πηλίκο	Υπόλοιπο
Ζωντανή ενημέρωση

Επόμενη διαίρεσηΌλεςΕπαναφορά

Το δεκαεξαδικό σύστημα: βάση 16

Οι δυαδικοί αριθμοί γίνονται γρήγορα πολύ μακριοί: το $200$ θέλει οκτώ ψηφία. Γι' αυτό οι άνθρωποι που δουλεύουν με υπολογιστές χρησιμοποιούν και το δεκαεξαδικό σύστημα, με βάση $16$.

Χρειάζεται δεκαέξι ψηφία. Τα δέκα πρώτα είναι τα γνωστά, και για τα υπόλοιπα δανειζόμαστε τα λατινικά γράμματα A έως F:

Κάθε θέση αξίζει δεκαέξι φορές όσο η θέση στα δεξιά της: $1$, $16$, $256$, …

$$2C_{16} = 2 \cdot 16 + 12 \cdot 1 = 44$$

Από δεκαδικό σε δεκαεξαδικό πηγαίνεις όπως και στο δυαδικό, με διαδοχικές διαιρέσεις, αλλά με το $16$. Για το $200$: $200 \div 16 = 12$ με υπόλοιπο $8$, και $12 \div 16 = 0$ με υπόλοιπο $12$. Από κάτω προς τα πάνω: $12$ και $8$, δηλαδή $C8_{16}$.

Η συντόμευση: τέσσερα bit, ένα ψηφίο

Με $4$ bit γράφεις από $0000$ ως $1111$, δηλαδή $16$ τιμές, όσα ακριβώς είναι τα ψηφία του δεκαεξαδικού. Άρα κάθε ομάδα τεσσάρων bit γίνεται ένα δεκαεξαδικό ψηφίο, χωρίς καμία διαίρεση.

Χωρίζεις τον δυαδικό αριθμό σε τετράδες από τα δεξιά και μεταφράζεις την καθεμιά:

Έτσι $11001000_2 = C8_{16} = 200$. Ένα byte γράφεται πάντα με δύο δεκαεξαδικά ψηφία, από $00$ ως $FF$. Αν η αριστερή τετράδα δεν είναι γεμάτη, της βάζεις μηδενικά μπροστά: $101100_2$ γίνεται $0010\ 1100$, δηλαδή $2C_{16}$.

Πού θα συναντήσεις το δεκαεξαδικό

Στο μάθημα για τις ψηφιακές εικόνες είδαμε ότι ένα χρώμα γράφεται με τρεις εντάσεις, κόκκινο, πράσινο και μπλε, από $0$ ως $255$ η καθεμιά. Κάθε ένταση είναι ένα byte, άρα δύο δεκαεξαδικά ψηφία. Έτσι γράφονται τα χρώματα στις ιστοσελίδες:

#FF8000
 ││││└┴─ μπλε:     00 = 0
 ││└┴─── πράσινο:  80 = 128
 └┴───── κόκκινο:  FF = 255

Πολύ κόκκινο, μισό πράσινο, καθόλου μπλε: πορτοκαλί. Το #000000 είναι μαύρο και το #FFFFFF λευκό.

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση