Τριγωνομετρικοί αριθμοί

Υπολογίζεις κλίσεις και ύψη χωρίς να τα φτάσεις.

30 λεπτά

Θα μάθεις να

Να μετατρέπεις μια κλίση από ποσοστό σε γωνία και αντίστροφα.
Να διαλέγεις ημίτονο, συνημίτονο ή εφαπτομένη ανάλογα με το τι ξέρεις και τι ζητάς.
Να υπολογίζεις ύψη και αποστάσεις που δεν μπορείς να μετρήσεις απευθείας.
Να χρησιμοποιείς σωστά το κομπιουτεράκι σε μοίρες, και για να βρεις γωνία.

Μετράς αυτό που φτάνεις, βρίσκεις αυτό που δεν φτάνεις

Ένας ηλεκτρολόγος πρέπει να ξέρει πόσο ψηλός είναι ένας στύλος πριν στείλει το καλαθοφόρο. Ένας μηχανικός θέλει να ξέρει αν η ράμπα μιας εισόδου βγαίνει στο μήκος της αυλής. Ένας μάστορας στέγης πρέπει να κόψει δοκάρια στο σωστό μήκος.

Κανείς τους δεν ανεβαίνει να μετρήσει. Μετράει κάτι στο έδαφος — μια απόσταση, μια γωνία — και τα υπόλοιπα τα βγάζει με ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό είναι η τριγωνομετρία στη δουλειά: λίγα νούμερα και ένα κομπιουτεράκι.

Κλίση: το ίδιο πράγμα, τρεις τρόποι να το πεις

Η κλίση λέει πόσο ανεβαίνεις για κάθε μέτρο που προχωράς οριζόντια. Αν η κατακόρυφη άνοδος είναι $h$ και η οριζόντια απόσταση $d$ , η κλίση είναι ο λόγος

\frac{h}{d}

Στην πράξη θα τη συναντήσεις γραμμένη με τρεις τρόπους:

Γραφή	Τι σημαίνει	Παράδειγμα
ποσοστό	ύψος ανά $100$ οριζόντια	$5\%$ : $5$ cm άνοδος ανά $1$ m
λόγος	$1$ πάνω, τόσα οριζόντια	$1:20$ : $1$ m άνοδος ανά $20$ m
γωνία	η γωνία με το οριζόντιο έδαφος	περίπου $2{,}9^\circ$

Και οι τρεις περιγράφουν την ίδια ράμπα: $1:20 = 0{,}05 = 5\%$ . Οι πινακίδες των δρόμων γράφουν ποσοστό, τα σχέδια των μηχανικών συχνά λόγο, οι στέγες και τα εργαλεία (αλφάδια με μοιρογνωμόνιο, εφαρμογές κινητού) γωνία.

Γιατί μας νοιάζει η γωνία, αφού το ποσοστό είναι τόσο βολικό; Γιατί από τη γωνία βγαίνουν όλες οι πλευρές του τριγώνου — και εκεί μπαίνουν οι τρεις λόγοι.

Οι τρεις λόγοι

Σε ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία $\omega$ , ονόμασε $\alpha$ την απέναντι κάθετη (δεν ακουμπά τη γωνία $\omega$ ), $\beta$ την προσκείμενη κάθετη (την ακουμπά) και $\gamma$ την υποτείνουσα (απέναντι από την ορθή):

\eta\mu\omega = \frac{\alpha}{\gamma} \qquad \sigma\upsilon\nu\omega = \frac{\beta}{\gamma} \qquad \varepsilon\varphi\omega = \frac{\alpha}{\beta}

Κοίτα την εφαπτομένη: απέναντι προς προσκείμενη είναι άνοδος προς οριζόντια απόσταση. Δηλαδή η κλίση που είδες πριν είναι η εφαπτομένη της γωνίας. Κλίση $5\%$ σημαίνει $\varepsilon\varphi\omega = 0{,}05$ .

Η γωνία ορίζει, το μέγεθος όχι

Κράτα σταθερή τη γωνία και άλλαξε το μέγεθος: οι πλευρές αλλάζουν, οι τρεις λόγοι όχι. Μετά ανέβασε τη γωνία και δες την εφαπτομένη να ξεπερνά το 1 μετά τις 45 μοίρες.

Άνοδος2,05

Οριζόντια5,64

Μήκος ράμπας6

ημωΆνοδοςΜήκος ράμπας0,342

συνωΟριζόντιαΜήκος ράμπας0,94

εφω (κλίση)ΆνοδοςΟριζόντια0,364

Μια ράμπα διπλάσιου μήκους με την ίδια γωνία έχει την ίδια κλίση.

Γωνία κλίσης20°

Μήκος πάνω στην κλίση6

Τιμές και κομπιουτεράκι

Κανείς δεν τις θυμάται όλες απέξω. Τις δίνει το κομπιουτεράκι (πλήκτρα sin, cos, tan) ή η άσκηση. Εδώ μερικές που θα χρειαστείς, στρογγυλεμένες στο δεύτερο δεκαδικό:

$\omega$	$\eta\mu\omega$	$\sigma\upsilon\nu\omega$	$\varepsilon\varphi\omega$
$10^\circ$	$0{,}17$	$0{,}98$	$0{,}18$
$20^\circ$	$0{,}34$	$0{,}94$	$0{,}36$
$30^\circ$	$0{,}50$	$0{,}87$	$0{,}58$
$35^\circ$	$0{,}57$	$0{,}82$	$0{,}70$
$45^\circ$	$0{,}71$	$0{,}71$	$1{,}00$
$60^\circ$	$0{,}87$	$0{,}50$	$1{,}73$
$75^\circ$	$0{,}97$	$0{,}26$	$3{,}73$

Και το αντίστροφο: αν ξέρεις την κλίση και θέλεις τη γωνία, πατάς SHIFT και μετά tan (στην οθόνη γράφει $\tan^{-1}$ ). Για $\varepsilon\varphi\omega = 0{,}05$ βγάζει $\omega \approx 2{,}9^\circ$ .

Ας το κάνουμε μαζί

Παράδειγμα 1

Η είσοδος ενός καταστήματος είναι 40 cm πάνω από το πεζοδρόμιο. Θέλουμε ράμπα αμαξιδίου με κλίση 5%. Πόση οριζόντια απόσταση πιάνει, πόσο μακριά είναι πάνω στην κλίση και ποια γωνία σχηματίζει;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Ένας ηλεκτρολόγος στέκεται 12 m από τη βάση ενός στύλου και βλέπει την κορυφή του με γωνία 35° από το ύψος των ματιών του, που είναι 1,60 m. Πόσο ψηλός είναι ο στύλος; (εφ35° ≈ 0,70)

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Μια φορητή σκάλα 5 m στήνεται σε τοίχο με γωνία 75° ως προς το έδαφος, όπως συστήνεται για ασφάλεια. Πόσο μακριά από τον τοίχο πατά και σε τι ύψος φτάνει; (συν75° ≈ 0,259, ημ75° ≈ 0,966)

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Μια δίρριχτη στέγη καλύπτει σπίτι πλάτους 10 m, με κλίση 30% σε κάθε πλευρά. Πόσο ψηλά είναι ο κορφιάς πάνω από τους τοίχους, ποια γωνία έχει η στέγη και πόσο μακριά πρέπει να είναι κάθε δοκάρι;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Πρώτα ερωτήσεις με επιλογές: διαλέγεις, πατάς «Έλεγξε» και μαθαίνεις αμέσως αν το βρήκες και γιατί. Στο τέλος, λίγες ασκήσεις χωρίς επιλογές — εκεί κρύβεται μόνο η απάντηση.

Πολλαπλή επιλογή

Ξέρεις το μήκος μιας σκάλας και τη γωνία της με το έδαφος. Θέλεις την απόσταση της βάσης της από τον τοίχο. Ποιον λόγο χρησιμοποιείς;

Το ημίτονο της γωνίαςΤο Πυθαγόρειο θεώρημαΤην εφαπτομένη της γωνίαςΤο συνημίτονο της γωνίας

Τα κατάφερες;

Να μετατρέπεις μια κλίση από ποσοστό σε γωνία και αντίστροφα.
Να διαλέγεις ημίτονο, συνημίτονο ή εφαπτομένη ανάλογα με το τι ξέρεις και τι ζητάς.
Να υπολογίζεις ύψη και αποστάσεις που δεν μπορείς να μετρήσεις απευθείας.
Να χρησιμοποιείς σωστά το κομπιουτεράκι σε μοίρες, και για να βρεις γωνία.

Λύσε τις ασκήσεις πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.