Τρίγωνα και Πυθαγόρειο θεώρημα

Γιατί οι κατασκευές είναι γεμάτες τρίγωνα

Κοίτα ένα ζευκτό στέγης, έναν γερανό, μια μεταλλική σκαλωσιά. Παντού τρίγωνα. Ο λόγος είναι πρακτικός: ένα τρίγωνο δεν παραμορφώνεται. Αν οι τρεις πλευρές του έχουν σταθερό μήκος, το σχήμα του είναι κλειδωμένο. Ένα ορθογώνιο πλαίσιο, αντίθετα, «πλαγιάζει» σε παραλληλόγραμμο με το πρώτο σπρώξιμο — γι' αυτό του βάζουμε διαγώνιο και το χωρίζουμε σε δύο τρίγωνα.

Οι γωνίες ενός τριγώνου

Σε κάθε τρίγωνο οι τρεις γωνίες μαζί κάνουν:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$$

Αν ξέρεις δύο γωνίες, η τρίτη βγαίνει με μια αφαίρεση. Τα τρίγωνα ονομάζονται από τη μεγαλύτερη γωνία τους:

και από τις πλευρές τους: ισόπλευρο (τρεις ίσες), ισοσκελές (δύο ίσες), σκαληνό (όλες διαφορετικές).

Στο ορθογώνιο τρίγωνο, οι δύο οξείες γωνίες μοιράζονται τις $90^\circ$ που περισσεύουν: είναι συμπληρωματικές. Αν μια σκάλα σχηματίζει $75^\circ$ με το δάπεδο, σχηματίζει $15^\circ$ με τον τοίχο.

Δεν φτιάχνουν τρίγωνο οποιαδήποτε τρία κομμάτια. Αν κόψεις λάμες για ένα τριγωνικό στήριγμα, έλεγξε πρώτα ότι οι δύο μικρότερες μαζί ξεπερνούν τη μεγαλύτερη.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα

Στο ορθογώνιο τρίγωνο, η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα και είναι πάντα η μεγαλύτερη. Οι άλλες δύο λέγονται κάθετες πλευρές. Αν οι κάθετες είναι $\alpha$, $\beta$ και η υποτείνουσα $\gamma$:

$$\alpha^2 + \beta^2 = \gamma^2$$

Σε εμβαδά: τα τετράγωνα πάνω στις δύο κάθετες πλευρές, μαζί, καλύπτουν ακριβώς το τετράγωνο πάνω στην υποτείνουσα.

Πότε τα δύο μικρά τετράγωνα γεμίζουν το μεγάλο

Διάλεξε τις δύο πλευρές και σύγκρινε τα εμβαδά. Μετά άνοιξε ή κλείσε τη γωνία ανάμεσά τους: η ισότητα κρατάει μόνο στις 90 μοίρες.

α²36

β²64

γ²100

α² + β² = 100γ² = 100Ίσα — η γωνία είναι ορθή

Πλευρά α6

Πλευρά β8

Γωνία ανάμεσά τους90° · ορθή

Στην πράξη το θεώρημα λύνεται με δύο τρόπους:

• Ψάχνεις την υποτείνουσα — προσθέτεις: $\gamma = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$
• Ψάχνεις κάθετη πλευρά — αφαιρείς: $\alpha = \sqrt{\gamma^2 - \beta^2}$

Ο έλεγχος 3-4-5

Το θεώρημα ισχύει και ανάποδα: αν οι τρεις πλευρές ενός τριγώνου επαληθεύουν τη σχέση $\alpha^2 + \beta^2 = \gamma^2$, τότε η γωνία απέναντι από τη μεγαλύτερη είναι ορθή.

Αυτό είναι το εργαλείο κάθε μάστορα. Για να χαράξει ορθή γωνία στα θεμέλια, σε ένα δάπεδο ή σε ένα πλαίσιο, μετράει $3$ μονάδες στη μία πλευρά, $4$ στην άλλη, και κοιτάει αν η απόσταση ανάμεσα στα δύο σημάδια είναι $5$. Επειδή $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Όσο μεγαλύτερο το τρίγωνο, τόσο πιο ακριβής ο έλεγχος: ένα λάθος ενός εκατοστού μετράει λιγότερο σε $5$ m απ' ό,τι σε $50$ cm.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση