Βασικές γεωμετρικές έννοιες

Η γλώσσα του σχεδίου

Ένα τεχνικό σχέδιο — κάτοψη σπιτιού, σχέδιο ηλεκτρολογικής εγκατάστασης, πλάνο επίπλου — είναι φτιαγμένο από λίγα πράγματα: σημεία, ευθύγραμμα τμήματα και γωνίες ανάμεσά τους. Όποιος τα διαβάζει σωστά, διαβάζει το σχέδιο.

• Ευθεία είναι μια γραμμή που δεν τελειώνει προς καμία πλευρά. Στο χαρτί σχεδιάζεις πάντα ένα κομμάτι της.
• Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι ανάμεσα σε δύο σημεία. Έχει μήκος: ένας τοίχος $4{,}20$ m, ένα κανάλι καλωδίων $1{,}5$ m.
• Ημιευθεία ξεκινάει από ένα σημείο και συνεχίζει προς μία μόνο κατεύθυνση — όπως η δέσμη ενός λέιζερ χάραξης.

Γωνίες: τι μετράμε και σε τι

Γωνία είναι το άνοιγμα ανάμεσα σε δύο ημιευθείες που ξεκινούν από το ίδιο σημείο, την κορυφή. Τη μετράμε σε μοίρες: ένας πλήρης κύκλος είναι $360^\circ$.

Γωνίες που συμπληρώνουν η μία την άλλη

Στη δουλειά σπάνια μετράς μια γωνία μόνη της. Συνήθως ξέρεις ότι κάτι είναι ορθό ή ίσιο, και ψάχνεις το κομμάτι που λείπει.

• Δύο γωνίες είναι συμπληρωματικές όταν μαζί κάνουν $90^\circ$. Αν ένα λοξό δοκάρι μπαίνει σε ορθή γωνία και πιάνει τις $30^\circ$ από τη μία μεριά, από την άλλη μένουν $60^\circ$.
• Δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές όταν μαζί κάνουν $180^\circ$. Όταν κόβεις μια ίσια σανίδα λοξά, οι δύο γωνίες στην τομή είναι παραπληρωματικές.
• Όταν δύο ευθείες τέμνονται, οι απέναντι γωνίες λέγονται κατακορυφήν και είναι πάντα ίσες. Στο σταυρό που κάνουν δύο ευθείες βλέπεις μόνο δύο διαφορετικές τιμές.

Κάθετες: η γωνία που ελέγχεις πιο συχνά

Δύο ευθείες είναι κάθετες όταν τέμνονται σε ορθή γωνία. Γράφουμε $\varepsilon_1 \perp \varepsilon_2$.

Η καθετότητα είναι παντού στο εργοτάξιο: ο ορθοστάτης με το δάπεδο, το ντουβάρι με το ντουβάρι, το κουτί της πρίζας με το σοβατεπί. Ο μάστορας την ελέγχει με γωνιά (το μεταλλικό «L»), με αλφάδι για την κατακόρυφη, και σε μεγάλες αποστάσεις με μετροταινία — αυτό θα το δεις στο επόμενο μάθημα, με το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Η καθετότητα δίνει και τη μικρότερη απόσταση. Η απόσταση ενός σημείου από μια ευθεία μετριέται πάνω στην κάθετη. Αν ο ηλεκτρολόγος θέλει να κατεβάσει καλώδιο από ένα φωτιστικό ως το κανάλι στο δάπεδο με το λιγότερο καλώδιο, το κατεβάζει κάθετα· κάθε λοξή διαδρομή είναι μακρύτερη.

Παράλληλες: γραμμές που δεν συναντιούνται ποτέ

Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου είναι παράλληλες όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, όσο κι αν προεκταθούν. Γράφουμε $\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2$.

Στην πράξη, παράλληλες σημαίνει ίδια απόσταση παντού: οι ράγες του τρένου, οι οδηγοί ενός συρταριού, οι αρμοί στο πλακόστρωτο, οι γραμμές ενός τετραδίου. Γι' αυτό ο έλεγχος είναι απλός: μετράς την απόσταση των δύο γραμμών σε δύο σημεία όσο πιο μακριά το ένα από το άλλο. Αν βγαίνει ίδια, είναι παράλληλες.

Η τέμνουσα και οι οκτώ γωνίες

Όταν μια τρίτη ευθεία — η τέμνουσα — κόβει δύο παράλληλες, σχηματίζονται οκτώ γωνίες, τέσσερις σε κάθε τομή. Σκέψου τα κάγκελα μιας σκάλας (παράλληλα μεταξύ τους) και την κουπαστή που τα κόβει λοξά.

Τα ζεύγη που αξίζει να ξέρεις με το όνομά τους:

Κάγκελα και κουπαστή

Άλλαξε τη γωνία της τέμνουσας και δες ότι στην κάτω τομή επαναλαμβάνονται οι ίδιες τιμές. Μετά γείρε τη δεύτερη ευθεία: ποιες ισότητες χάνονται;

ΠαράλληλεςΚατακορυφήν: 1 = 4 = 60°, 2 = 3 = 120°Παραπληρωματικές: 1 + 2 = 180°Εντός εκτός και επί τα αυτά: 1 = 60°, 5 = 60°Εντός εναλλάξ: 3 = 120°, 6 = 120°

Γωνία τέμνουσας60°

Κλίση δεύτερης ευθείαςΠαράλληλες

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση