Εξισώσεις β΄ βαθμού

Όταν ο άγνωστος πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του

Ένα ορθογώνιο δάπεδο αποθήκης έχει μήκος $2$ m μεγαλύτερο από το πλάτος του και εμβαδόν $24$ m². Ο πελάτης θέλει τις διαστάσεις για να παραγγείλει πλακάκια.

Αν $x$ το πλάτος σε μέτρα, το μήκος είναι $x + 2$ και:

$$x(x + 2) = 24 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 + 2x - 24 = 0$$

Ο άγνωστος εμφανίζεται στο τετράγωνο. Αυτό δεν λύνεται με «μεταφέρω και διαιρώ» — είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού. Βγαίνουν παντού όπου υπάρχει εμβαδόν, πτώση ενός αντικειμένου ή κέρδος που πρώτα ανεβαίνει και μετά πέφτει.

Η γενική μορφή είναι

$$\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0, \quad \alpha \neq 0$$

Το $\alpha$ είναι ο συντελεστής του $x^2$, το $\beta$ του $x$, και το $\gamma$ ο σταθερός όρος. Αν $\alpha = 0$, το $x^2$ χάνεται και η εξίσωση είναι απλώς α΄ βαθμού.

Οι εύκολες περιπτώσεις

Αν λείπει κάποιος όρος, δεν χρειάζεσαι τύπο.

Λείπει ο σταθερός όρος ($\gamma = 0$). Βγάζεις κοινό παράγοντα το $x$:

$$3x^2 - 12x = 0 \Rightarrow x(3x - 12) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, \quad x_2 = 4$$

Ένα γινόμενο είναι μηδέν μόνο όταν κάποιος παράγοντας είναι μηδέν.

Λείπει ο όρος με $x$ ($\beta = 0$). Απομονώνεις το $x^2$:

$$x^2 - 36 = 0 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x_1 = 6, \quad x_2 = -6$$

Και το $-6$ είναι λύση, γιατί $(-6)^2 = 36$. Αν ένα πρόβλημα ζητάει μήκος, το αρνητικό θα το απορρίψεις μετά — όχι στη λύση της εξίσωσης.

Η διακρίνουσα

Όταν υπάρχουν και οι τρεις όροι, υπολογίζεις πρώτα έναν αριθμό, τη διακρίνουσα:

$$\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$$

Πίσω στο δάπεδο: $\alpha = 1$, $\beta = 2$, $\gamma = -24$.

$$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$ $$x = \frac{-2 \pm 10}{2} \Rightarrow x_1 = 4, \quad x_2 = -6$$

Πλάτος $-6$ m δεν υπάρχει, οπότε κρατάς $x = 4$. Το δάπεδο είναι $4$ m επί $6$ m — και $4 \cdot 6 = 24$, σωστό.

Η γεωμετρία πίσω από τις λύσεις

Η παραβολή και η διακρίνουσα

Άλλαξε τους τρεις συντελεστές και παρακολούθησε τη διακρίνουσα. Κάθε φορά που αλλάζει πρόσημο, αλλάζει και το πλήθος των σημείων όπου η καμπύλη ακουμπάει τον οριζόντιο άξονα.

α1

β2

γ−8

Ζωντανή ενημέρωση

Διακρίνουσα Δ = β² − 4αγ

36

Κορυφή στο x

−1

Λύση

−4, 2

• y = αx² + βx + γ

Οι τρεις περιπτώσεις

Δύο λύσειςΜία διπλήΚαμία λύση

Το πρόσημο του $\alpha$ λέει προς τα πού ανοίγει η παραβολή: προς τα πάνω αν $\alpha > 0$, προς τα κάτω αν $\alpha < 0$. Μια καμπύλη κέρδους που πρώτα ανεβαίνει και μετά πέφτει έχει $\alpha < 0$.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση