Μετάβαση στο περιεχόμενο
Akademio

Δυνάμεις και ρίζες

Επιστημονική γραφή και γιατί τη χρειάζεσαι στα τεχνικά μεγέθη.

30 λεπτά

Θα μάθεις να

  1. Να χρησιμοποιείς τις ιδιότητες των δυνάμεων, και με αρνητικό εκθέτη.
  2. Να γράφεις πολύ μεγάλα και πολύ μικρά τεχνικά μεγέθη σε επιστημονική γραφή και με προθέματα μονάδων.
  3. Να κάνεις πράξεις με αριθμούς σε επιστημονική γραφή χωρίς να χάνεις μηδενικά.
  4. Να υπολογίζεις τετραγωνικές και κυβικές ρίζες σε προβλήματα εμβαδού και όγκου.

Αριθμοί με πολλά μηδενικά

Κοίτα μερικά μεγέθη που θα συναντήσεις στη δουλειά:

  • μια αντίσταση σε πλακέτα: 4 700 0004\,700\,000 Ω
  • η χωρητικότητα ενός πυκνωτή: 0,000 000 10{,}000\,000\,1 F
  • η διάμετρος μιας τρίχας: περίπου 0,000 070{,}000\,07 m
  • ένας σκληρός δίσκος: 2 000 000 000 0002\,000\,000\,000\,000 byte

Γραμμένα έτσι, είναι εύκολο να χάσεις ή να προσθέσεις ένα μηδενικό — και ένα μηδενικό είναι λάθος δέκα φορές. Γι' αυτό τα τεχνικά εγχειρίδια, τα κομπιουτεράκια και τα λογισμικά γράφουν τέτοιους αριθμούς με δυνάμεις του 1010.

Τι είναι μια δύναμη

Η δύναμη ana^n είναι το γινόμενο nn ίσων παραγόντων aa. Ο aa λέγεται βάση, ο nn εκθέτης:

104=10⋅10⋅10⋅10=10 00010^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000

Με βάση το 1010, ο εκθέτης λέει απλώς πόσα μηδενικά ακολουθούν το 11.

Δυνάμεις του δέκα

Κράτα τη βάση στο 10 και άλλαξε τον εκθέτη. Μέτρα τα μηδενικά της αξίας και σύγκρινέ τα με τον εκθέτη. Μετά δοκίμασε άλλη βάση.

103

Γινόμενο1010103 παράγοντες

Αξία1.000

Βάση

10

Εκθέτης

3

Οι κανόνες που χρειάζεσαι

Για την ίδια βάση aa:

ΠράξηΚανόναςΠαράδειγμα
πολλαπλασιασμόςam⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}103⋅102=10510^3 \cdot 10^2 = 10^5
διαίρεσηam:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}106:102=10410^6 : 10^2 = 10^4
δύναμη δύναμης(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}(102)3=106(10^2)^3 = 10^6
μηδενικός εκθέτηςa0=1a^0 = 1100=110^0 = 1
αρνητικός εκθέτηςa−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}10−3=0,00110^{-3} = 0{,}001

Ο αρνητικός εκθέτης δεν κάνει τον αριθμό αρνητικό. Λέει «διαίρεσε αντί να πολλαπλασιάσεις»: το 10−310^{-3} είναι ένα χιλιοστό, όχι μείον χίλια.

Επιστημονική γραφή

Έτσι η τρίχα γίνεται 7⋅10−57 \cdot 10^{-5} m και ο δίσκος 2⋅10122 \cdot 10^{12} byte. Με μια ματιά βλέπεις ότι ο δίσκος είναι τρισεκατομμύρια, χωρίς να μετράς μηδενικά.

Τα προθέματα των μονάδων

Στις μονάδες, οι ίδιες δυνάμεις έχουν όνομα. Είναι αυτά που διαβάζεις κάθε μέρα σε ετικέτες και καταλόγους:

ΠρόθεμαΣύμβολοΔύναμηΠαράδειγμα
γίγαG10910^{9}11 GB μνήμη
μέγαM10610^{6}4,74{,}7 MΩ αντίσταση
κιλόk10310^{3}2,22{,}2 kW βραστήρας
μίλιm10−310^{-3}55 mA ρεύμα
μίκρομ10−610^{-6}7070 μm τρίχα
νάνοn10−910^{-9}100100 nF πυκνωτής

Κάθε σκαλί στον πίνακα απέχει από το επόμενο χίλιες φορές. Αυτό βολεύει: από kΩ σε MΩ διαιρείς με 10001000, από mA σε A επίσης.

Ρίζες: ο δρόμος προς τα πίσω

Η τετραγωνική ρίζα x\sqrt{x} είναι ο θετικός αριθμός που, στο τετράγωνο, δίνει xx. Τη χρειάζεσαι όταν ξέρεις ένα εμβαδόν και ψάχνεις την πλευρά: ένα τετράγωνο δωμάτιο 1616 m² έχει πλευρά 16=4\sqrt{16} = 4 m.

Η κυβική ρίζα x3\sqrt[3]{x} κάνει το ίδιο για τον όγκο: μια κυβική δεξαμενή 88 m³ έχει ακμή 83=2\sqrt[3]{8} = 2 m, γιατί 23=82^3 = 8.

Για ρίζες ισχύει ο κανόνας του γινομένου: a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, για a,b≥0a, b \ge 0. Έτσι 4⋅106=2⋅103\sqrt{4 \cdot 10^6} = 2 \cdot 10^3.

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Γράψε σε επιστημονική γραφή μια αντίσταση 3 300 000 Ω και ένα ρεύμα 0,000 25 A.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Από μια αντίσταση 2,2 kΩ περνάει ρεύμα 5 mA. Ποια τάση έχει στα άκρα της; (Νόμος του Ohm: U = I · R)

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Ένα τετράγωνο δωμάτιο έχει εμβαδόν 30,25 m². Πόσα μέτρα σοβατεπί χρειάζονται για όλη την περίμετρο;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Ένας γραφίστας έχει δίσκο 2 TB και φωτογραφίες των 4 MB η καθεμία. Πόσες φωτογραφίες χωράνε;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Πρώτα ερωτήσεις με επιλογές: διαλέγεις, πατάς «Έλεγξε» και μαθαίνεις αμέσως αν το βρήκες και γιατί. Στο τέλος, λίγες ασκήσεις χωρίς επιλογές — εκεί κρύβεται μόνο η απάντηση.

Πολλαπλή επιλογήΆσκηση 1 από 14
Ένα λεπτό έλασμα λαμαρίνας έχει πάχος 0,000 520{,}000\,52 m. Πώς γράφεται σε επιστημονική γραφή;

Τα κατάφερες;

  • Να χρησιμοποιείς τις ιδιότητες των δυνάμεων, και με αρνητικό εκθέτη.
  • Να γράφεις πολύ μεγάλα και πολύ μικρά τεχνικά μεγέθη σε επιστημονική γραφή και με προθέματα μονάδων.
  • Να κάνεις πράξεις με αριθμούς σε επιστημονική γραφή χωρίς να χάνεις μηδενικά.
  • Να υπολογίζεις τετραγωνικές και κυβικές ρίζες σε προβλήματα εμβαδού και όγκου.

Λύσε τις ασκήσεις πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.