Συστήματα εξισώσεων

Δύο άγνωστοι, δύο πληροφορίες

Ένα ηλεκτρολογικό συνεργείο χρεώνει με την ώρα: άλλη τιμή για τον τεχνίτη και άλλη για τον βοηθό. Από δύο παλιά τιμολόγια ξέρεις:

• δουλειά με $4$ ώρες τεχνίτη και $4$ ώρες βοηθού: $200$ €
• δουλειά με $6$ ώρες τεχνίτη και $2$ ώρες βοηθού: $220$ €

Πόσο κοστίζει η ώρα του καθενός;

Με ένα γράμμα δεν βγαίνει, γιατί άγνωστα είναι δύο μεγέθη. Βάζεις $x$ για την ωριαία χρέωση του τεχνίτη και $y$ για του βοηθού (σε ευρώ). Κάθε τιμολόγιο γίνεται μία εξίσωση:

$$\begin{cases} 4x + 4y = 200 \\ 6x + 2y = 220 \end{cases}$$

Δύο εξισώσεις που πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα λέγονται σύστημα. Η λύση του δεν είναι ένας αριθμός αλλά ένα ζευγάρι $(x, y)$ — εδώ, δύο τιμές που βγάζουν σωστά και τα δύο τιμολόγια.

Ο κανόνας είναι απλός: όσα άγνωστα μεγέθη, τόσες ανεξάρτητες πληροφορίες χρειάζεσαι. Με ένα μόνο τιμολόγιο θα είχες άπειρους συνδυασμούς.

Πρώτος δρόμος: αντικατάσταση

Λύνεις τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και βάζεις το αποτέλεσμα στην άλλη.

Η πρώτη διαιρείται με $4$: $x + y = 50$, άρα $y = 50 - x$.

Στη δεύτερη:

$$6x + 2(50 - x) = 220 \Rightarrow 6x + 100 - 2x = 220 \Rightarrow 4x = 120 \Rightarrow x = 30$$

Και πίσω: $y = 50 - 30 = 20$.

Ο τεχνίτης χρεώνει $30$ € την ώρα, ο βοηθός $20$ €.

Η αντικατάσταση βολεύει όταν κάποιος άγνωστος έχει συντελεστή $1$ ή είναι ήδη μόνος του.

Δεύτερος δρόμος: αντίθετοι συντελεστές

Πολλαπλασιάζεις μία ή και τις δύο εξισώσεις ώστε ένας άγνωστος να αποκτήσει αντίθετους συντελεστές. Μετά τις προσθέτεις κατά μέλη, και ο άγνωστος φεύγει.

Στο ίδιο σύστημα, πολλαπλασιάζω τη δεύτερη με $-2$:

$$\begin{cases} 4x + 4y = 200 \\ -12x - 4y = -440 \end{cases}$$

Πρόσθεση: $-8x = -240$, δηλαδή $x = 30$. Ίδιο αποτέλεσμα από άλλο δρόμο — όπως πρέπει.

Πού συναντιούνται δύο συνθήκες

Η μπλε ευθεία είναι η πρώτη συνθήκη και μένει σταθερή. Άλλαξε την κλίση και τον σταθερό όρο της πορτοκαλί και δες πότε οι δύο συνθήκες έχουν κοινό σημείο.

Πρώτη συνθήκηy = −x + 4

Δεύτερη συνθήκηy = x − 2

Μία λύση: (3, 1)Διαφορετικές κλίσεις: οι ευθείες κόβονται σε ένα ακριβώς σημείο.

Κλίση της δεύτερης1

Σταθερός όρος της δεύτερης−2

Τρία πιθανά αποτελέσματα

Δεν χρειάζεσαι σχήμα για να το καταλάβεις. Αν κατά τη λύση φτάσεις σε κάτι ψευδές, όπως $0 = 6$, το σύστημα είναι αδύνατο. Αν φτάσεις σε $0 = 0$, είναι αόριστο.

Στην πράξη, ένα αδύνατο σύστημα συνήθως σημαίνει λάθος στα δεδομένα: μια τιμή που άλλαξε, μια έκπτωση που δεν γράφτηκε. Ένα αόριστο σημαίνει ότι σου έδωσαν δύο φορές την ίδια πληροφορία με άλλα λόγια — πρέπει να ζητήσεις κάτι ακόμα.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση