Ανισώσεις α΄ βαθμού

Όρια ανοχής και προδιαγραφές: εκεί χρησιμεύουν.

30 λεπτά

Θα μάθεις να

Να λύνεις ανισώσεις α΄ βαθμού και να αντιστρέφεις τη φορά όταν πρέπει.
Να γράφεις τη λύση ως διάστημα και να τη δείχνεις πάνω στην ευθεία.
Να μετατρέπεις μια ανοχή «ονομαστική τιμή ± απόκλιση» σε διπλή ανίσωση και να κρίνεις μετρήσεις.

Στη δουλειά, σπάνια ζητάς έναν αριθμό

Ένας άξονας δεν χρειάζεται να έχει διάμετρο ακριβώς $25$ mm — κανένας τόρνος δεν το πετυχαίνει. Χρειάζεται να είναι από $24{,}96$ έως $25{,}04$ mm. Ένα ράφι αντέχει το πολύ $120$ kg. Ένας ψυκτικός θάλαμος πρέπει να μένει κάτω από $5$ °C. Για να βγάλει το μαγαζί τα έξοδά του χρειάζεται τουλάχιστον τόσους πελάτες.

Όλα αυτά είναι ανισώσεις: δεν λένε «ίσο με», λένε «όχι πάνω από» ή «όχι κάτω από». Και η απάντησή τους δεν είναι ένας αριθμός αλλά ένα εύρος.

Στο κείμενο	Γράφεται
το πολύ $120$ , όχι πάνω από $120$	$B \leq 120$
τουλάχιστον $40$ , όχι κάτω από $40$	$x \geq 40$
λιγότερο από $5$ , κάτω από $5$	$T < 5$
περισσότερο από $0$	$x > 0$
από $24{,}96$ έως $25{,}04$	$24{,}96 \leq d \leq 25{,}04$

Η διαφορά ανάμεσα στο $<$ και στο $\leq$ είναι αν το ίδιο το όριο επιτρέπεται. Ράφι που γράφει «έως $120$ kg» σηκώνει και τα $120$ .

Λύνεται όπως η εξίσωση — με μία εξαίρεση

Οι κινήσεις είναι οι ίδιες με την εξίσωση: προσθέτεις, αφαιρείς, πολλαπλασιάζεις ή διαιρείς το ίδιο και στα δύο μέλη. Η φορά $<$ ή $>$ μένει ίδια, εκτός από μία περίπτωση.

Η λύση είναι διάστημα

Η λύση της $x \leq 4$ είναι όλοι οι αριθμοί από το $4$ και κάτω. Γράφεται ως διάστημα $(-\infty, 4]$ : η αγκύλη λέει ότι το $4$ ανήκει, η παρένθεση ότι το άκρο δεν ανήκει — και στο $-\infty$ μπαίνει πάντα παρένθεση, γιατί δεν είναι αριθμός που φτάνεις.

Μια ανοχή είναι διπλή ανίσωση. Η διάσταση $40 \pm 0{,}05$ mm σημαίνει $39{,}95 \leq d \leq 40{,}05$ , δηλαδή το κλειστό διάστημα $[39{,}95, 40{,}05]$ . Ό,τι μετράς μέσα, περνάει. Ό,τι μετράς έξω, απορρίπτεται — έστω και για ένα εκατοστό του χιλιοστού.

Μέσα ή έξω από την ανοχή;

Η ευθεία δείχνει την απόκλιση από την ονομαστική διάσταση, σε εκατοστά του χιλιοστού (0,01 mm). Η σκιασμένη ζώνη είναι η ανοχή ± t. Άλλαξε τη μέτρηση και δες πότε βγαίνει από τη ζώνη· μετά στένεψε την ανοχή και δες πόσα κομμάτια θα απορρίπτονταν.

ανοχή t5

απόκλιση μέτρησης3

Σύνολο λύσεων: −5 … 5

Η διπλή ανίσωση λύνεται κάνοντας την ίδια κίνηση και στα τρία μέρη της ταυτόχρονα. Αν η κίνηση είναι διαίρεση με αρνητικό, αντιστρέφονται και τα δύο σύμβολα.