Εξισώσεις α΄ βαθμού

Μια ζυγαριά σε ισορροπία

Μια εξίσωση είναι μια ισότητα με έναν αριθμό που δεν τον ξέρεις ακόμα, τον άγνωστο — συνήθως $x$. Σκέψου τη σαν ζυγαριά σε ισορροπία: ό,τι βάλεις ή βγάλεις από τη μία πλευρά, το ίδιο πρέπει να κάνεις και στην άλλη, αλλιώς γέρνει.

Οι κινήσεις που επιτρέπονται είναι τέσσερις, και όλες γίνονται και στα δύο μέλη:

• προσθέτω τον ίδιο αριθμό,
• αφαιρώ τον ίδιο αριθμό,
• πολλαπλασιάζω με τον ίδιο αριθμό (όχι με το $0$),
• διαιρώ με τον ίδιο αριθμό (όχι με το $0$).

Στην εξίσωση α΄ βαθμού ο άγνωστος εμφανίζεται μόνο στην πρώτη δύναμη: υπάρχει $x$, αλλά όχι $x^2$ ούτε $\frac{1}{x}$.

Η σειρά της δουλειάς

Όσο μπερδεμένη κι αν δείχνει, κάθε εξίσωση α΄ βαθμού λύνεται με τα ίδια πέντε βήματα:

1. Διώχνω τους παρονομαστές, πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο με το Ε.Κ.Π. τους.
2. Ανοίγω τις παρενθέσεις.
3. Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους: τα $x$ στο ένα μέλος, οι αριθμοί στο άλλο. Όρος που αλλάζει μέλος αλλάζει πρόσημο.
4. Κάνω αναγωγή ομοίων όρων: μαζεύω σε μορφή $a x = b$.
5. Διαιρώ με τον συντελεστή του $x$.

Σπάνια θα σου τύχουν, αλλά όταν τύχουν σημαίνουν κάτι: στο πρόβλημα, μια αδύνατη εξίσωση λέει ότι οι συνθήκες που σου έδωσαν δεν μπορούν να ισχύουν μαζί.

Από το πρόβλημα στην εξίσωση

Στη δουλειά κανείς δεν σου δίνει έτοιμη εξίσωση. Σου δίνει ένα τιμολόγιο, ένα ρολό καλώδιο, μια συνταγή. Η δύσκολη δουλειά είναι η μετάφραση, και γίνεται με σειρά:

1. Δηλώνω τον άγνωστο, με τη μονάδα του: «έστω $x$ οι ώρες εργασίας». Όχι σκέτο «έστω $x$».
2. Γράφω την ίδια ποσότητα με δύο τρόπους και τους βάζω ίσους.
3. Λύνω.
4. Γυρίζω στο κείμενο: στέκει η απάντηση; Μήκος δεν βγαίνει αρνητικό, άνθρωποι δεν βγαίνουν $4{,}5$.

Ποια εξίσωση λέει το πρόβλημα;

Διάλεξε πρόβλημα και μετά εξίσωση. Οι λάθος εξισώσεις δεν είναι τυχαίες — η καθεμιά περιγράφει ένα άλλο πρόβλημα, που κάποιος εύκολα διαβάζει στη θέση του σωστού.

Διάλεξε πρόβλημα

ΚαλώδιοΜάστοραςΦΠΑ

Ένα ρολό έχει 100 m καλώδιο. Ο ηλεκτρολόγος κόβει 6 ίσα κομμάτια και του περισσεύουν 16 m. Πόσο μακρύ είναι κάθε κομμάτι;

Ο άγνωστος x = το μήκος ενός κομματιού σε m

Ποια εξίσωση ταιριάζει;

6x + 16 = 1006x = 100 + 166(x + 16) = 100

Οι τύποι είναι κι αυτοί εξισώσεις

Ο νόμος του Ohm $V = R \cdot I$, ο τύπος της ισχύος $P = V \cdot I$, η μετατροπή θερμοκρασίας $F = 1{,}8\,C + 32$: όλοι είναι εξισώσεις α΄ βαθμού ως προς οποιοδήποτε από τα μεγέθη τους. Όταν ξέρεις τα υπόλοιπα, λύνεις ως προς αυτό που σου λείπει, με τις ίδιες ακριβώς κινήσεις. Από το $P = V \cdot I$, διαιρώντας με $V$, παίρνεις $I = \frac{P}{V}$.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση