Πραγματικοί αριθμοί και πράξεις

Οι αριθμοί που χρησιμοποιείς ήδη

Σε ένα συνεργείο, σε μια κουζίνα ή σε ένα εργοτάξιο δουλεύεις κάθε μέρα με όλα τα είδη αριθμών, ακόμα κι αν δεν τα λες με το όνομά τους:

• Φυσικοί: $0, 1, 2, 3, \dots$ — τεμάχια, κουτιά, ώρες εργασίας.
• Ακέραιοι: και οι αρνητικοί, $-18$ °C στον καταψύκτη, $-3$ ο όροφος του υπογείου.
• Ρητοί: όσοι γράφονται ως κλάσμα ακεραίων, άρα και οι δεκαδικοί που τελειώνουν ή επαναλαμβάνονται: $\frac{3}{4}$ του λίτρου, $12{,}50$ ευρώ, $0{,}6$ m πλακάκι.
• Άρρητοι: όσοι δεν γράφονται ως κλάσμα. Τα δεκαδικά τους ψηφία δεν τελειώνουν ποτέ και δεν επαναλαμβάνονται.

Όλοι μαζί λέγονται πραγματικοί αριθμοί και είναι όλα τα σημεία μιας ευθείας. Στην πράξη ο άρρητος στρογγυλεύεται: κανείς δεν κόβει σωλήνα $1{,}41421\dots$ m, κόβει $1{,}41$ m ή $1{,}42$ m.

Η σειρά των πράξεων: έτσι γράφεται ένα τιμολόγιο

Ένας ηλεκτρολόγος γράφει στο δελτίο $25 + 3 \cdot 18$: $25$ ευρώ η επίσκεψη και $3$ ώρες των $18$ ευρώ. Ο πελάτης χρωστάει $25 + 54 = 79$ ευρώ. Αν κάποιος το διάβαζε από αριστερά προς τα δεξιά, θα έβγαζε $28 \cdot 18 = 504$ ευρώ — σαν να χρεώνεται κάθε ώρα και η επίσκεψη ξανά.

Δύο αναγνώσεις της ίδιας παράστασης

Κάθε παράσταση είναι κομμάτι από πραγματικό λογαριασμό. Αριστερά η ανάγνωση «όπως έρχεται», δεξιά η σωστή. Δες πότε διαφέρουν και πόσο κοστίζει η διαφορά.

Διάλεξε παράσταση

25 + 3 × 18(25 + 3) × 182 × 3²150 − 50 : 2

Από αριστερά προς δεξιά

1. 25 + 3 = 28
2. 28 × 18 = 504

504

Με τη σειρά των πράξεων

1. 3 × 18 = 54
2. 25 + 54 = 79

79

Διαφορετικό ποσό: γι' αυτό υπάρχει κανόνας

Όταν θέλεις πράγματι να προσθέσεις πρώτα, το λες με παρένθεση. Το $2 \cdot 3^2$ είναι δύο πλάκες πλευράς $3$ m, δηλαδή $18$ m². Το $(2 \cdot 3)^2$ είναι μία πλάκα πλευράς $6$ m, δηλαδή $36$ m². Άλλο πράγμα, άλλη παραγγελία.

Δυνάμεις: εμβαδά, όγκοι, μεγάλοι αριθμοί

Η δύναμη $a^n$ είναι το $a$ πολλαπλασιασμένο με τον εαυτό του $n$ φορές. Στη δουλειά τη συναντάς κυρίως σε τρία σημεία:

• Εμβαδόν τετραγώνου: πλευρά $4$ m δίνει $4^2 = 16$ m².
• Όγκος κύβου: ακμή $0{,}5$ m δίνει $0{,}5^3 = 0{,}125$ m³, δηλαδή $125$ λίτρα.
• Δυνάμεις του $10$: $1$ m³ $= 10^3$ λίτρα, $1$ kW $= 10^3$ W.

Ρίζες: από το εμβαδόν πίσω στην πλευρά

Η τετραγωνική ρίζα $\sqrt{a}$ (για $a \geq 0$) είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, αν τον υψώσεις στο τετράγωνο, δίνει $a$. Είναι η ανάποδη ερώτηση: ξέρεις ότι ένα τετράγωνο δωμάτιο έχει $25$ m², πόση είναι η πλευρά; $\sqrt{25} = 5$ m.

Οι περισσότερες ρίζες δεν βγαίνουν ακριβώς: $\sqrt{30} \approx 5{,}48$. Εκεί χρησιμοποιείς κομπιουτεράκι και κρατάς όσα δεκαδικά χρειάζεται η δουλειά — δύο για μέτρα (δηλαδή ακρίβεια εκατοστού), κανένα για τεμάχια.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση