Πρώτοι αριθμοί και παραγοντοποίηση

Αριθμοί που δεν σπάνε

Έχεις $12$ καρέκλες και θέλεις να τις βάλεις σε σειρές, με τον ίδιο αριθμό σε κάθε σειρά. Μπορείς με πολλούς τρόπους: $2$ σειρές των $6$, $3$ των $4$, $4$ των $3$, $6$ των $2$.

Με $7$ καρέκλες δοκίμασε όσο θέλεις. Ο μόνος τρόπος είναι μία σειρά των $7$ (ή $7$ σειρές της μίας). Το $7$ δεν «σπάει» σε ίσες σειρές.

Φτιάξε ορθογώνιο με κουκκίδες

Άλλαξε γραμμές και στήλες ώστε το σύνολο να γίνει 12. Βρες όλους τους τρόπους. Μετά κάνε το ίδιο για το 7, το 9 και το 5. Για ποιους αριθμούς βγαίνει μόνο μία γραμμή;

Κουκκίδες3 × 4 = 123 γραμμές των 4δηλαδή 4 + 4 + 4

Γραμμές

−3+

Στήλες

−4+

↻ Γύρισέ το

Το κόσκινο του Ερατοσθένη

Ο Ερατοσθένης, που διηύθυνε τη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας τον 3ο αιώνα π.Χ., βρήκε έναν τρόπο να «κοσκινίζει» τους αριθμούς ώστε να μένουν μόνο οι πρώτοι.

1. Γράψε τους αριθμούς από το $2$ ως το $50$.
2. Κύκλωσε το $2$ και σβήσε όλα τα πολλαπλάσιά του: $4, 6, 8, \ldots$
3. Ο πρώτος αριθμός που δεν σβήστηκε είναι το $3$. Κύκλωσέ το και σβήσε τα πολλαπλάσιά του: $6, 9, 12, \ldots$
4. Το ίδιο με το $5$ και με το $7$.
5. Ό,τι έμεινε είναι πρώτος.

Οι πρώτοι αριθμοί ως το $50$ είναι δεκαπέντε:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47$$

Γιατί αρκεί να σταματήσεις στο $7$; Το επόμενο κύκλωμα θα ήταν το $11$, και το μικρότερο πολλαπλάσιό του που δεν έχει ήδη σβηστεί είναι το $11 \times 11 = 121$. Ως το $120$ λοιπόν δεν χρειάζεσαι άλλους.

Δοκίμασε τώρα εσύ. Μερικοί αριθμοί μοιάζουν πρώτοι αλλά δεν είναι.

Πρώτος ή σύνθετος;

Κάθε φορά εμφανίζεται ένας αριθμός. Δοκίμασε αν διαιρείται με 2, 3, 5 ή 7.

Πρώτος ή σύνθετος;

53

ΠρώτοςΣύνθετος

0 / 10

Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων

Κάθε σύνθετος αριθμός γράφεται ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Οι πρώτοι είναι τα «τουβλάκια» από τα οποία χτίζονται όλοι οι άλλοι αριθμοί με πολλαπλασιασμό.

Δύο τρόποι για να βρεις τα τουβλάκια:

Με δέντρο. Σπάσε τον αριθμό σε δύο παράγοντες, όποιους βρεις. Ό,τι δεν είναι πρώτο, σπάσ' το ξανά, ώσπου να μείνουν μόνο πρώτοι.

$$60 = 6 \times 10 = (2 \times 3) \times (2 \times 5)$$

Με διαδοχικές διαιρέσεις. Διαίρεσε με τον μικρότερο πρώτο που χωράει, και συνέχισε με το πηλίκο, ώσπου να φτάσεις στο $1$:

Και οι δύο δρόμοι δίνουν το ίδιο: $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$. Με δυνάμεις, $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.

Ας το κάνουμε μαζί

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση