Στερεό σώμα — στροφική κίνηση

Ροπή, ροπή αδράνειας και ο δεύτερος νόμος σε στροφική μορφή.

32 λεπτά

Θα μάθεις να

Να υπολογίζεις ροπή δύναμης ως προς άξονα, με σωστή χρήση του μοχλοβραχίονα.
Να χρησιμοποιείς τη ροπή αδράνειας και να καταλαβαίνεις από τι εξαρτάται.
Να εφαρμόζεις τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης.
Να συνδέεις τα στροφικά μεγέθη με τα αντίστοιχα μεταφορικά.

Η δύναμη δεν αρκεί

Για να στρίψεις μια πόρτα, δεν αρκεί να ξέρεις πόσο σπρώχνεις. Μετράει και πού και προς τα πού. Σπρώξε δίπλα στον μεντεσέ και η πόρτα δεν κουνιέται, όσο δυνατά κι αν πιέσεις.

Το μέγεθος που τα μαζεύει και τα τρία είναι η ροπή:

\tau = F \cdot r \cdot \eta\mu\theta

όπου $r$ η απόσταση από τον άξονα και $\theta$ η γωνία ανάμεσα στη δύναμη και στην ακτίνα. Το γινόμενο $r\,\eta\mu\theta$ λέγεται μοχλοβραχίονας: η κάθετη απόσταση του άξονα από τη φορέα της δύναμης.

Πού και προς τα πού σπρώχνεις

Τρεις σύρτες, μία ροπή. Φέρε την ακτίνα στο μηδέν ή τη γωνία στις 0 μοίρες: η δύναμη μένει ίδια και η ροπή σβήνει. Η γωνιακή επιτάχυνση ακολουθεί τη ροπή, όχι τη δύναμη.

Δύναμη F10 N

Απόσταση r0,4 m

Γωνία90°

Ροπή: 4 N·m
Ροπή αδράνειας: 0,25 kg·m²
Γωνιακή επιτάχυνση: 16 rad/s²

Ο δίσκος έχει μάζα 2 kg και ακτίνα 0,5 m, οπότε I = ½MR² = 0,25 kg·m².

Ροπή αδράνειας

Στη στροφική κίνηση, τη θέση της μάζας παίρνει η ροπή αδράνειας $I$ : πόσο δύσκολο είναι να αλλάξει η περιστροφή ενός σώματος.

I = \sum m_i r_i^2

Το κρίσιμο είναι το $r^2$ . Δεν μετράει μόνο πόση μάζα υπάρχει, αλλά πόσο μακριά από τον άξονα κάθεται. Δύο σώματα ίδιας μάζας έχουν εντελώς διαφορετικό $I$ αν η μάζα τους είναι μοιρασμένη αλλιώς:

Σώμα, μάζας $M$ και ακτίνας $R$	$I$ ως προς τον άξονα συμμετρίας
Δακτύλιος	$MR^2$
Συμπαγής δίσκος	$\tfrac{1}{2}MR^2$
Συμπαγής σφαίρα	$\tfrac{2}{5}MR^2$

Ο δακτύλιος έχει διπλάσιο $I$ από τον δίσκο με την ίδια μάζα, γιατί όλη η μάζα του κάθεται στη μέγιστη απόσταση.

Ο θεμελιώδης νόμος

\Sigma\tau = I\alpha

Είναι ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα, με τρεις αντικαταστάσεις. Και αυτή η αντιστοίχιση είναι ο συντομότερος τρόπος να θυμάσαι ολόκληρο το κεφάλαιο:

Μεταφορική	Στροφική
θέση $x$	γωνία $\varphi$
ταχύτητα $v$	γωνιακή ταχύτητα $\omega$
επιτάχυνση $a$	γωνιακή επιτάχυνση $\alpha$
μάζα $m$	ροπή αδράνειας $I$
δύναμη $F$	ροπή $\tau$
ορμή $p = mv$	στροφορμή $L = I\omega$
κινητική $\tfrac{1}{2}mv^2$	κινητική $\tfrac{1}{2}I\omega^2$

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Δύναμη $20$ N ασκείται σε απόσταση $0{,}3$ m από τον άξονα, κάθετα στην ακτίνα. Βρες τη ροπή.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Δίσκος $M = 2$ kg και $R = 0{,}5$ m δέχεται ροπή $6$ N·m. Βρες τη γωνιακή επιτάχυνση.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Τροχός ξεκινάει από την ηρεμία με $\\alpha = 4$ rad/s². Πόσες στροφές κάνει σε $5$ s;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Γιατί ένας συμπαγής κύλινδρος κατεβαίνει κεκλιμένο επίπεδο πιο γρήγορα από έναν δακτύλιο ίδιας μάζας;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

Βασική

Δύναμη $20$ N ασκείται κάθετα στην ακτίνα, σε απόσταση $0{,}3$ m από τον άξονα. Βρες τη ροπή.

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Πότε μηδενίζεται η ροπή μιας δύναμης ως προς άξονα;

όταν η δύναμη είναι κάθετη στην ακτίναόταν η φορέας της δύναμης περνάει από τον άξοναποτέόταν η δύναμη είναι μικρή

Τα κατάφερες;

Να υπολογίζεις ροπή δύναμης ως προς άξονα, με σωστή χρήση του μοχλοβραχίονα.
Να χρησιμοποιείς τη ροπή αδράνειας και να καταλαβαίνεις από τι εξαρτάται.
Να εφαρμόζεις τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης.
Να συνδέεις τα στροφικά μεγέθη με τα αντίστοιχα μεταφορικά.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.