Μετάβαση στο περιεχόμενο
Akademio

Πιθανότητες

Δειγματικός χώρος, ενδεχόμενα και δεσμευμένη πιθανότητα.

30 λεπτά

Θα μάθεις να

  1. Να περιγράφεις τον δειγματικό χώρο και να εκφράζεις ενδεχόμενα με πράξεις συνόλων.
  2. Να εφαρμόζεις τον προσθετικό νόμο και τον κανόνα του συμπληρωματικού.
  3. Να υπολογίζεις δεσμευμένη πιθανότητα και να καταλαβαίνεις τι αλλάζει η πληροφορία.
  4. Να ελέγχεις αν δύο ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα ή ασυμβίβαστα, χωρίς να τα μπερδεύεις.

Ο δειγματικός χώρος είναι η λίστα

Κάθε άσκηση πιθανοτήτων ξεκινάει από το ίδιο ερώτημα: τι μπορεί να συμβεί; Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος Ω\Omega, και κάθε υποσύνολό του είναι ένα ενδεχόμενο.

Όταν όλα τα αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, η πιθανότητα είναι μέτρημα και διαίρεση — ο κλασικός ορισμός:

P(A)=N(A)N(Ω)P(A) = \frac{N(A)}{N(\Omega)}

Η λέξη «ισοπίθανα» είναι προϋπόθεση, όχι διακόσμηση. Δύο ζάρια δεν δίνουν ισοπίθανα αθροίσματα, δίνουν ισοπίθανα ζεύγη — και γι' αυτό ο σωστός δειγματικός χώρος έχει τριάντα έξι στοιχεία, όχι έντεκα.

Ο δειγματικός χώρος, ολόκληρος

Τα 36 ισοπίθανα ζεύγη. Διάλεξε ενδεχόμενο και μέτρα πόσα τετράγωνα ανάβουν — η πιθανότητα είναι αυτός ο αριθμός διά 36.

Ενδεχόμενο

Ευνοϊκά6

Σύνολο36

Πιθανότητα6/36

Ποσοστό: 16,7% · Έξι ζεύγη το δίνουν. Είναι η διαγώνιος με τα περισσότερα τετράγωνα.

Πράξεις με ενδεχόμενα

ΓλώσσαΣύμβολο
να συμβεί το AA ή το BBA∪BA \cup B
να συμβούν και τα δύοA∩BA \cap B
να μη συμβεί το AAA′A'
να συμβεί μόνο το AAA−BA - B

Οι δύο νόμοι που τα συνδέουν με πιθανότητες:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B),P(A′)=1−P(A)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B), \qquad P(A') = 1 - P(A)

Ο πρώτος αφαιρεί την τομή γιατί αλλιώς θα μετριόταν δύο φορές. Όταν τα AA και BB είναι ασυμβίβαστα — δεν μπορούν να συμβούν μαζί — η τομή είναι κενή και ο νόμος γίνεται απλή πρόσθεση.

Δεσμευμένη πιθανότητα

Η πληροφορία αλλάζει τις πιθανότητες γιατί μικραίνει τον δειγματικό χώρο. Αν ξέρεις ότι το BB συνέβη, τα αποτελέσματα εκτός του BB παύουν να είναι υποψήφια:

P(A∣B)=P(A∩B)P(B),P(B)≠0P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) \neq 0

Διαβάζεται «η πιθανότητα του AA δεδομένου του BB». Ο παρονομαστής είναι ο νέος, μικρότερος κόσμος· ο αριθμητής είναι το κομμάτι του AA που επιβίωσε μέσα του.

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Ρίχνουμε δύο ζάρια. Ποια η πιθανότητα το άθροισμα να είναι 88;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 2

Δίνονται P(A)=0,6P(A) = 0{,}6, P(B)=0,5P(B) = 0{,}5 και P(AcapB)=0,2P(A \\cap B) = 0{,}2. Βρες τα P(AcupB)P(A \\cup B) και P(A′)P(A')

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 3

Ρίχνουμε ένα ζάρι. Ποια η πιθανότητα να έφερε 66, αν ξέρουμε ότι έφερε άρτιο;

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Παράδειγμα 4

Σε τάξη 30 μαθητών, 18 έχουν Μαθηματικά, 15 Φυσική και 8 και τα δύο. Επιλέγουμε έναν στην τύχη.

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Ασκήσεις

Από την πιο απλή στην πιο δύσκολη. Κρυμμένη είναι μόνο η απάντηση — ο δρόμος ως εκεί είναι δική σου δουλειά.

ΒασικήΆσκηση 1 από 4

Ρίχνουμε ένα ζάρι. Ποια η πιθανότητα να φέρουμε άρτιο αριθμό;

Τεστ

Δεν μετράει βαθμός — μετράει να δεις τι κατάλαβες. Προσπέρασε όποια θες και γύρνα πίσω όποτε θες.

Ερώτηση 1 από 8

Ο κλασικός ορισμός P(A)=N(A)N(Ω)P(A) = \dfrac{N(A)}{N(\Omega)} απαιτεί:

Τα κατάφερες;

  • Να περιγράφεις τον δειγματικό χώρο και να εκφράζεις ενδεχόμενα με πράξεις συνόλων.
  • Να εφαρμόζεις τον προσθετικό νόμο και τον κανόνα του συμπληρωματικού.
  • Να υπολογίζεις δεσμευμένη πιθανότητα και να καταλαβαίνεις τι αλλάζει η πληροφορία.
  • Να ελέγχεις αν δύο ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα ή ασυμβίβαστα, χωρίς να τα μπερδεύεις.

Κάνε το τεστ πιο πάνω και θα δεις εδώ πού στέκεσαι.