Στατιστική — μέτρα θέσης και διασποράς

Δύο ερωτήσεις για κάθε δείγμα

Μπροστά σε μια λίστα αριθμών υπάρχουν πάντα δύο ερωτήσεις: γύρω από πού μαζεύονται και πόσο απλώνονται. Η πρώτη απαντιέται με μέτρα θέσης, η δεύτερη με μέτρα διασποράς — και καμία από τις δύο απαντήσεις δεν αρκεί μόνη της.

Μέτρα θέσης

Μέση τιμή. Το άθροισμα διά το πλήθος:

$$\bar{x} = \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{\nu} x_i$$

Διάμεσος $\delta$. Η μεσαία τιμή αφού βάλεις τα δεδομένα σε σειρά. Με άρτιο πλήθος, ο μέσος όρος των δύο μεσαίων.

Επικρατούσα τιμή $M_0$. Αυτή που εμφανίζεται πιο συχνά. Μπορεί να μην είναι μοναδική, και σε συνεχή δεδομένα συχνά δεν έχει νόημα.

Τι κάνει μια ακραία τιμή

Σύρε τις στήλες. Ανέβασε μία μόνο πολύ ψηλά και κοίτα τη μέση τιμή: την ακολουθεί. Η διάμεσος δεν θα κουνιόταν σχεδόν καθόλου — γι' αυτό οι μισθοί ανακοινώνονται με διάμεσο και όχι με μέσο όρο.

45565

Α−+Β−+Γ−+Δ−+Ε−+

Ψηλότερη

Δ

Χαμηλότερη

Α

Άθροισμα

25

Εύρος

2

Μέση τιμή

5

Μέτρα διασποράς

Εύρος $R$: η διαφορά μέγιστης και ελάχιστης τιμής. Απλό, και εντελώς στο έλεος δύο μόνο παρατηρήσεων.

Διακύμανση $s^2$: ο μέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεων από τη μέση τιμή.

$$s^2 = \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{\nu}\left(x_i - \bar{x}\right)^2$$

Τυπική απόκλιση $s$: η ρίζα της διακύμανσης. Υπάρχει επειδή η διακύμανση μετριέται σε τετραγωνικές μονάδες — αν τα δεδομένα είναι σε ευρώ, η διακύμανση είναι σε ευρώ στο τετράγωνο, που δεν σημαίνει τίποτα. Η ρίζα επαναφέρει τις μονάδες.

Για υπολογισμούς με το χέρι βολεύει η ισοδύναμη μορφή:

$$s^2 = \frac{1}{\nu}\sum x_i^2 - \bar{x}^2$$

Συντελεστής μεταβολής

Η τυπική απόκλιση δεν συγκρίνεται ανάμεσα σε δείγματα με διαφορετικές μονάδες ή διαφορετική τάξη μεγέθους. Απόκλιση $5$ σε τιμές γύρω στο $20$ είναι τεράστια· η ίδια απόκλιση σε τιμές γύρω στο $5.000$ είναι αμελητέα.

Ο συντελεστής μεταβολής τη μετατρέπει σε ποσοστό:

$$CV = \frac{s}{\bar{x}}$$

Είναι καθαρός αριθμός, χωρίς μονάδες, και εκφράζεται ως ποσοστό. Ένα δείγμα λέγεται ομοιογενές όταν $CV \leq 10\%$.

Λυμένα παραδείγματα

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση

Δοκίμασέ το πρώτα. Μετά δες τη λύση.

Δείξε τη λύση